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| 編輯推薦： |
★名作者、众多*名校名师点评推荐
作者雅科夫·别莱利曼俄国著名科普作家。他一生著有105部作品，其中大部分是趣味科学读物。在半个多世纪以来，其作品深受欧美以及中国读者的欢迎，被翻译成多国语言在世界各地再版无数次，至今依然在全球范围再版发行，深受全世界读者的喜爱。
北京市育英学校数学教师，特级教师杨梅、北京市海淀区教师进修学校物理教研员，高级教师李俊鹏、河北省隆尧县实验中学物理教师，高级教师张虎岗、北京市育英学校，小学部和初中部任教数学学科高级教师贾艳菲、北京市育英学校，化学奥林匹克竞赛教练化学骨干教师梁国兴、北京市育英学校青年地理教师，天文奥林匹克竞赛优秀指导教师李轩。等众多国内各类教育名家倾情推荐。
★让为读者匹配相应的几何学趣味游戏、趣味课堂
我们精心为读者提供精彩的几何学游戏，趣味课堂，让孩子更有趣地学习和体验几何学。让孩子真正感受到“几何，原来可以这么简单、自然、好玩！”
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| 內容簡介： |
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这是一本讲述几何学基础知识的趣味科普经典。生活中，各种事物都存在着常见的几何关系，如何将学到的几何学知识应用到实际方面？别莱利曼将帮你把几何学从教室的围墙里、科学的“围城”中，引到户外去，如树林里、原野上、河边、路上，在那里摆脱公式和函数表，无拘无束地活学活用，用几何知识重新认识美丽的世界……
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| 關於作者： |
雅科夫·别莱利曼
（1882 ─ 1942）
俄国著名科普作家。他17 岁开始在报刊上发表作品，1909 年大学毕业后，便全心投入教学与科普写作中。别莱利曼一生著有105 部作品，其中大部分是趣味科普读物。半个多世纪以来，其作品被翻译成多国语言在世界各地再版多次，深受全世界读者的喜爱。 凡是读过别莱利曼趣味科普读物的人，无不为他作品的优美、流畅、充实性和趣味性而倾倒。1942 年3 月16 日，在德军围困列宁格勒期间，这位对世界科普事业作出非凡贡献的科普大师不幸遇难。
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| 目錄：
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CONTENTS
用阴影长度测量高度............ 002
另外两种方法........................ 007
测高妙法................................. 010
侦察兵的测高绝招................ 012
借助记事本测高.................... 014
不必靠近大树的测高法........ 015
林业工作者的测高仪............ 016
镜子测高法............................. 019
两棵松树................................. 021
树干的形状............................. 022
公式................................. 023
未伐倒的树木体积和
?质量计算法.......................... 025
树叶上的几何学.................... 029
六条腿的大力士.................... 031
名师点评................................. 035
河流宽度测量法.................... 038
帽檐测距法............................. 043
岛屿的长度............................. 045
对岸的行人............................. 046
简单的测远仪.................... 049
河流的能量............................. 052
河水的流速............................. 054
河水的流量............................. 056
水中涡轮................................. 060
五彩虹膜................................. 061
水面上的圆圈........................ 062
关于榴霰弹爆炸后的
?设想....................................... 065
船头的波峰............................. 066
炮弹的速度............................. 069
水塘的深度............................. 071
河中映出的星空.................... 072
跨河架桥筑路........................ 074
修建两座桥............................. 076
名师点评................................. 078
月亮的尺寸............................. 082
视角......................................... 084
盘子与月亮............................. 086
月亮和硬币............................. 087
轰动一时的照片.................... 088
活的测角仪............................. 092
雅科夫测角仪........................ 096
钉耙测角仪............................. 098
炮兵和角度............................. 099
视觉的敏锐度........................ 102
视力的极限............................. 103
地平线上的月亮和星星........ 107
月球影子与平流层
?气球影子的长度.................. 110
云层距离地面很高吗？........ 111
根据照片将塔的高度
?推算出来............................... 116
练习题..................................... 117
名师点评................................. 119
步测距离的技巧.................... 122
目测法..................................... 123
坡度......................................... 127
碎石堆..................................... 130
“骄人的山冈”.................... 131
路的转弯处............................. 133
弯道的半径............................. 134
大洋的底................................. 137
“水山”真的存在吗？........ 140
名家点评................................. 142
计算正弦................................. 146
开平方根................................. 151
根据正弦求角度.................... 152
太阳的角度............................. 154
小岛的距离............................. 155
湖泊的宽度............................. 156
三角形地带............................. 158
不经测量而确定角度............ 160
名师点评................................. 162
地平线..................................... 164
地平线上的轮船.................... 167
地平线有多远？.................... 168
果戈理的塔............................. 172
普希金的山丘........................ 174
两条铁轨的交会点................ 175
灯塔问题................................. 176
闪电......................................... 177
帆船......................................... 178
月球上的“地平线”............ 179
月球上的环形山.................... 180
在木星上................................. 181
练习题..................................... 181
名师点评................................. 182
星空中的几何学.................... 184
神秘岛的纬度........................ 188
地理经度的测定.................... 191
在船的底舱里........................ 196
如何测量水桶？.................... 197
测量尺..................................... 199
还需要做什么？.................... 202
验算......................................... 206
马克·吐温的黑夜之旅........ 211
蒙眼转圈................................. 215
徒手测量法............................. 226
黑暗中的直角........................ 229
名师点评................................. 231
古埃及人和古罗马人的
?实用几何学.......................... 234
圆周率的精确度.................... 235
杰克·伦敦的错误................ 239
掷针实验................................. 241
圆周的展开............................. 244
方圆问题................................. 245
宾科三角形............................. 250
头或脚..................................... 251
赤道上的钢丝........................ 253
事实和计算............................. 254
走钢丝的女孩........................ 257
经过北极的路线.................... 261
传送带的长度........................ 267
聪明的乌鸦............................. 270
名师点评................................. 273
不用圆规来作图.................... 276
铁片的重心............................. 277
拿破仑的题目........................ 279
简单的三分角器................ 281
时钟三分角器........................ 282
圆周的划分............................. 283
台球桌上的几何学问题........ 285
“聪明”的台球.................... 288
一笔画成的图形.................... 296
哥尼斯堡的七座桥梁............ 300
几何学玩笑............................. 301
正方形的检验........................ 302
下棋游戏................................. 303
名师点评................................. 305
在一立方厘米空气中
?有多少个分子？.................. 308
体积和压力............................. 310
比蛛丝更细，却比钢
?更硬....................................... 313
两个容器................................. 315
名师点评 317
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| 內容試閱：
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章
丛林中的几何学
作为伟大的数学家，大自然不知孕育着多少几何学的秘密，而丛林中的秘密更是众多。其中，阴影测量的方法就是极为简单的一种。
用阴影长度测量高度
如今我还时时回想儿时曾令我感到惊讶的事。那件事是这样的：一位守林人为了测量一棵大树的高度，使用了一个极小的仪器。测量时，他在一棵大树附近站好，然后通过一个四方形的木板来观察大树。就在我以为他就要开始测量树的高度时，他却将那个方形的仪器装入口袋，然后轻松地告诉大家，他的工作已经完成。在我看来，他明明之前什么也没做，测量工作应该刚刚开始才是。
这种测量方法像神奇的魔术般，他既不必爬到树顶测量，也不必把大树砍倒，就能轻易地测量出大树的高度，幼小的我觉得这就是一个奇迹。后来我逐渐长大，懂得越来越多知识，才明白这其实是个极其简单的方法，而利用简易的仪器或不用其他任何工具来辅助完成测量的方法也有很多。
泰勒—— 一位古希腊的哲学家，他曾在公元前6世纪用一种简单而又古老的方法测量出金字塔的高度。太阳下金字塔的阴影就是他测量金字塔的“工具”。那时候的法老和祭司们都无法相信这个从北方来的异客可以测量出胡夫金字塔的高度。据说，泰勒选择了自己的影子和身高等长的时间，他认为这时测量出的金字塔的阴影长度就等于金字塔的高度。泰勒灵活地运用了等腰直角三角形的相似原理。
如果把这位古希腊哲学家解决问题的办法运用到今天，就算是现在的小学生也会感到非常简单。但我们要切记：现阶段学习到的几何知识都是古希腊以后逐渐建立的，我们现在看问题是运用了前辈们努力探究后的成果和结论。欧几里得是古希腊的数学家，他在公元前300年就写了一部很了不起的书《几何原本》。2000多年过去后，这本书仍是我们教育下一代的重要书籍。
这本书中所讲的定理现在的中学生都知道，然而在泰勒的时代，却不被人们知晓。因为泰勒用阴影测量金字塔高度，所以他需要了解一些关于三角形的性质。首先，等腰三角形的两个底角相等，换言之，一个三角形有两个相等的角，它们对应的边也一定相等；其次，三角形的内角和为180°。因为泰勒知道三角形这两个性质，所以他能判断：当自己的身高和影子等高时，太阳与地面的夹角为45°，并得出那时金字塔的塔高与阴影等高的结论。
当阳光明媚时，单独的大树的阴影并不会和相邻的其他大树的阴影交叉，所以，利用这种办法测量这棵大树的高度比较简便。但这种办法并不适合运用在纬度较高的地方。原因在于，纬度较高的地方，太阳升起的高度比较低，测量物体高度只能在正午前后一段很短的时间内进行，不像低纬度的埃及有充裕的时间选择。因此，泰勒采用的这种办法并不是放之四海而皆准的。
现在，我们可以巧妙地利用相似三角形的性质。我们稍微调整一下刚才使用的办法——使得在太阳照耀的有利条件下更好地测量高度。为此，我们不仅要知道阴影的长度，还要知道另一个物体，如木杆的长度，如此，就能测算出所需测量物体的高度了（图1-1）。
AB∶BC = ab∶bc
图1-1?利用阴影测量树的高度
由相似三角形的性质可知，树影和树高的比值与身影和身高的比值相等，所以知道了BC、ab、bc就可以方便地计算AB的高度了。
此时此刻，作为读者的你是不是有这样的疑问：如此浅显的道理，是不需要几何学来引证的，即便是没有几何学，我们同样能知道，在相同时刻树高与树影是同一比值。然而，亲爱的读者，你未免想得太过简单了。不信？你可以把这个规则应用在街头路灯照射下物体的高度上，现在，你是否发现这个规则就不适用了。从图1-2中我们可以清楚地看到：大木柱AB的长度是小木柱ab的3倍，但是大木柱的阴影BC是小木柱阴影bc的8倍。想知道为什么是这样的结果吗？为什么非常适合于上一个情形的方法却在这种情形中讲不通？如果你想解决这个问题，就需要学习几何学的知识。
图1-2?灯光照射下的高度与阴影
【题】我们来分析一下两种情况下的不同。在肉眼范围内可以看到，太阳光是平行的光线，而路灯光与太阳的平行光线不同，它是放射状的光线。因此，我们会产生疑问：为什么太阳的光线是平行的呢？太阳光线不都是以太阳为原点向外散发吗？图1-2这种测量方法适用于什么情形呢？
【解】由于每条太阳光线角度太小，即使用精准的仪器都无法测量，因此我们把太阳光视作平行光。为了解释这一点，我们需要运用一个很简单的几何学知识。首先，假定太阳光是以太阳为原点向外散发的，现在我们选择两道光线为例。这两条光线投射到地球上的两点距离为1000米。这就等于是：以太阳这个发光点为圆心，以太阳到地球的距离（150000000千米）为半径画圆，我们选取的两道光线之间的弧长为1000米，这个圆的周长为2π×150000000≈940000000千米。
计算得出：这1000米的弧长对应的角度只有秒。因为这个角度太微不足道，即使用现在世界上和精准的仪器都难以测量出来，所以，把太阳光视作平行光线也是可行的。
因此，假如没有几何学作为支持，前文中提到的利用阴影测量高度的方法就没有任何依据了。
尽管如此，上述我们所讲的方法也不是很可靠，尤其是在做实地试验的时候。原因是阴影的尽头并不十分清楚，测量阴影的实际长度存在一定难度。所以实际生活中，我们可以发现：太阳光投射出的任何一个阴影，到了尽头处都是模糊不清的。其原因就是太阳光不是从一点发出的，太阳相比地球是一个更大的发光体，太阳光线是由它庞大的表面散发出来的。图1-3解释了树影BC为何会多出一段慢慢消失的半影CD。此时，半影两端点C、D和树梢A的夹角∠DAC与我们前述的太阳圆面形成的夹角相同，即等于0.5度。所以，仅仅因为太阳位置较高，阴影测量不完全准确产生的误差就有可能达到5%或者更大。要是再有其他的不可避免的因素（如地势高低不平等），那么，其引起的误差将会使结果更加不可靠。比如，这个方法在丘陵地带就不完全适用。
另外两种方法
接下来，我们讲两种无须利用阴影的测量办法，这两种方法也非常简单。
种方法是：用3个大头针在一块木板上画出一个等腰直角三角形，接着的测量需要利用等腰直角三角形的性质。先找来一块较为光滑的木板或者树皮，在上面画一个等腰直角三角形，接着分别在3个顶点上钉上3个大头针（图1-4）。
此时，有的读者可能会问：如果我手上没有三角板，画不出正确的直角应该怎么办呢？解决这个问题的方法很简单，只需要把一张纸对折两次（对折再横折）就会出现一个直角了。如此看来，即使是在野外露营，也能很快制作一个直角三角形。令人惊喜的是，使用这个仪器要比制作它更简单。
使用前要知道如何让一条直角边处于竖直状态。这个方法也很简单：我们可以在直角边的顶点上钉上一根系有重物的细线，而且保证细线和直角边重合。然后，你用手拿着仪器（图1-5），在树的前面寻找一个点A，从点A出发，让点a、点c和树梢上的点C在同一直线上（即a、c两个大头针正好挡住树梢上的C点）。此时三角形aBC恰好是一个等腰直角三角形。大树的高度CD=BC BD=aB BD=AD aA，所以，只要再测出AD的长度和aA（眼睛距离地面）的高度，大树的高度就可以计算出来了。
第二种方法更加简单。首先，竖立一个长杆在地面上，长杆露在地面上的高度要与自己的身高相等。然后我们需要找到一个点b（图1-6），点b使我们躺在地上脚跟紧贴长杆底部时，眼睛、杆梢a、树梢C位于同一直线上。此时，三角形ABC就是一个等腰直角三角形。树高BC=AB=Ab bB，所以，我们再测量出bB的长度就能计算出大树的高度（即眼睛到树根的距离）了。
测高妙法
在著名的科幻小说《神秘岛》中，儒勒·凡尔纳也曾经介绍过一个比较简单的测量物体高度的方法。
工程师说：“我们今天得去测量眺望台的高度。”赫伯特说：“那我们需要什么仪器呢？”
“我们需要转换一种测量方式，这种方式不需要使用任何仪器，但结果和昨天一样准确。”
赫伯特是一个很热爱学习的青年人，所以他不会放过这样的学习机会，于是他和工程师一起前往眺望台。
到达眺望台后，工程师取出一根大约长12英尺[1]的直杆。因为他清楚地知道自己的身高，所以他比较了一下直杆和自己的身高，就大约知道直杆的长度了。测量好后，赫伯特接过工程师递给他的一块系有细线的石块。
工程师走出眺望台，然后在离眺望台约500英尺的地方停下脚步，往沙土中插入直杆，插入沙土的长度约为2英尺，然后他用手中的工具悬锤调整直杆，使它竖直。
接着，他继续往外走，直到找到一个地方，并仰面躺下。此时，在这个位置上，眼睛、直杆的顶点和眺望台的顶点都处于同一直线上（图1-7）。然后他把短木桩插在了这个点上，并问身边的赫伯特：“你知道几何学吗？”
图1-7?测量眺望台的高度
“是的，我了解。”
“那么你知道相似三角形的性质吗？”
“相似三角形的对应边成比例。”
“对。我们现在不就有两个相似三角形吗？相对小的三角形一条边是短木桩到直杆的距离，另一条边是竖直的木杆，以我的视线为弦；相对大的三角形一条边是眺望台的高度，另一条边是短木桩到眺望台的距离，同样以我的视线为弦，因此和小三角形的弦在同一直线上。”
“哦，我懂得了。直杆高度与眺望台高度的比值，等于短木桩到直杆的距离与短木桩到眺望台距离的比值。”
“是的。因而我们只要知道短木桩到直杆和眺望台的距离以及直杆的高度，眺望台的高度便可以通过比值计算出来。”
通过测量可知，短木桩到直杆的距离是15英尺，到眺望台的距离是500英尺。所以：
10∶x≈15∶500
解得x≈333英尺。
因此，眺望台高度约为333英尺。
侦察兵的测高绝招
以上我们介绍的几种测高的方法都有一个共同的不足之处，那就是都需要躺在地上。那么，我们能否找到一个不需要躺在地上的方法呢？例如：在战争中，某个分队接受命令在山涧上架设一座桥梁，但敌人就在对岸。分队决定派出一个侦察小组计算出树林中有多少能用于架桥的树木，以此了解架桥所用的材料。为此，他们需要先测量树高。如图1-8所示，他们借助一支测量杆来测量树高。所需的测量杆高度必须略高于身高。首先，把测量杆竖立在大树前面，并离开一段距离。然后，测量人员沿着Dd的延长线向后退，直到点A，在该点上，眼睛、测量杆的杆顶和大树树梢恰恰处于同一直线。
接着，测量人员水平看向大树，在视线与测量杆和大树分别相交的点c与点C上以后做好记号。现在，观测工作就完成了。随后，根据相似三角形的性质bc∶BC=ac∶aC，可得出BC=bc× 。同样能直接测量出式中的aC、ac、bc，大树的高度等于BC与CD的和。
为了测算树林中的树木数，组长先派遣人员测量树林的面积，接着数出在50平方米内的树木，然后利用简单的乘法计算出树林中的树木数。于是，分队利用这些数据选择在一个恰当的地方搭建桥梁。战斗任务也因此顺利结束了。
图1-8?利用测杆测量高度
借助记事本测高
假如需要测量一个不可能攀登的高度，但结果并不要求太准确，那就可以利用袖珍记事本（附带小铅笔的那种）来完成。事实上，这个记事本是个相当不错的测量仪器。
基本的思路是：把记事本放在一只眼睛前面（图1-9），并维持记事本的竖直状态。接着把铅笔慢慢往上推，直到从点a方向看去，铅笔尖b点恰好能挡住树梢B点。这时，出现了两个相似三角形：三角形abc和三角形aBC。由相似三角形的性质可得bc∶BC=ac∶aC，
得BC=bc× 。
由于式中aC、ac、bc皆可直接测量，因而用所求的BC加上CD就等于大树的高度了。CD的高度与你的眼睛到地面的距离相等。我们接着思考，记事本的宽ac是不变的，因此，只要你站在树前的位置（aC的距离）不变，就只剩下一个变量bc了。当我们得知bc的数值时，就可以知道大树的高度了。
接着，我们来思考一下：假如在铅笔上画上刻度，这样大树的高度就能直接读数了。这个简易的装置也就成了一个测量仪了。
不必靠近大树的测高法
有的读者有这样的疑问：要是无法接触测量的大树，还能够测量它的高度吗？答案是肯定的。接下来，我们一起学习制作一个简单的测量仪器。准备两根木条（图1-10），并把ab垂直地钉在cd上，使ab=bc=2bd。如此，一个简单的测量仪就顺利完成了。测量需要两次运用三角形的相似性质。
图1-10?利用两根木条制成的简单的测高仪和它的使用法
步，在测量者的前上方放上这个仪器（固定其高度），并使cd保持竖直。首先确定一个点A，使点a、c及树梢B保持在同一直线上。
第二步，测量者沿着DA的延长线向后移，并找到点A′，使a′、d′及B在同一直线上。我们使用这种测量方法的关键点是A和A′的选择，因此，BC的高就与AA′的距离相等。原因是什么呢？
a′C=2BC
aC=BC
两式相减得：
a′C-aC=BC=A′A
在得到BC后，加上仪器ab距离地面的高度，就等于大树的高度。
由此可见：在不能接近大树的地方，运用这种测量方法也能测量树高。
事实上，这种仪器的制作方法还可以更简单：无需木条，只要使用一块光滑的木板，并用大头针在上面标识a、b、c、d四个点就可以了。
林业工作者的测高仪
事实上，林业工作者使用的专业测量仪并不是前面所讲的测高仪器。接下来我们就来了解一下专业的测量仪，但我们只讨论一种，并对它做了些许的改动。
我们以图1-11为参照来介绍这种测高仪的构造原理。仪器由一块方形的木板或平面纸板和一个竖直垂线组成。测量人在待测大树前站立，并使点a、点b及点B保持在同一直线上。此时竖直垂线与cd相交于点n，做上记号。现在，我们看看三角形bnc和三角形bBC是否相似？答案毫无疑问是相似的。所以：
nc∶BC=bc∶bC
得BC=bC×
图1-11?林业工作者所用测高仪的使用方法
其中，可以直接测量的有bC、nc、bc，此时再测量出CD的高度（仪器所在点b到地面的距离），这样，我们就可以知道大树的高度了。
现在我们继续往下想。已知方形木板的边长（假定为10厘米），在边cd上画出厘米的刻度，这样， 就可以直接读出来了。打个比方：假设竖直垂线和cd相交于7厘米的点上，那么就是0.7，这样就可以很快计算出大树的高度了。
接着往下思考：能否更简单地将点a、b、B置于同一直线上呢？现在，我们在线ab的两侧折出两个竖立的小正方形，分别在两个正方形上穿一个孔。放在眼前的孔比放在后面的孔稍大（图1-12）。
图1-12?林业工作者的测高仪
这种测高仪的性能会更好吗？图1-12和实际的大小相当，制作比较简便，花费时间较短的，也不必拥有在工艺方面的特殊技能。这种测量仪不会占用太多空间，又能够在郊外又快又好地测量出所见的任何物体，如大树、高楼和信号塔等。
【题】我们是否能用这种测量器测出无法接近的大树的高度呢？如果可以，要如何实施测量？
【解】利用上面所讲的办法，分别找出点A、A′（图1-13），并使其满足下列要求：
BC=0.9AC；BC=0.4A′C
我们把两式相减，可得：
AA′=BC
AA′是可以直接测量出的，因此就可以计算大树的高度了。
图1-13?不能接近的大树的高度测量
镜子测高法
【题】下面问大家一个问题：是否可以使用镜子测量出大树的高度？答案是：一定可以。我们把镜子放在大树AB前的点C上（图1-14），测量者找到这样一个点D，使测量人恰好能在镜子里看到树梢点A，并站在其上。此时，BC与CD的比值即树高AB与测量人身高的比值。原因是什么呢？
图1-14?利用镜子测高
【解】我们利用光的反射性质来阐释这种测高法，图1-15。我们可以求得：
AB=A′B=×ED
这种简单易行的办法可以在任何天气里使用。但有一个前提条件：它不适合密林中的树木，只适用于个别单独的树木。
【题】要是无法接近测量的大树，能使用镜子测高法吗？
【解】实际上这是一个很古老的问题。在几百年前，一位名叫安东尼·德·克雷蒙的数学家在他的作品《实用土地测量》中讨论过这个问题。解决这个问题也能够使用上述的测量方法，再根据相似三角形的原理，就可以求出大树的高度了。接下来，我们再分享一个测量大树高度的方法。
两棵松树
【题】两棵松树之间相距40米，我们运用前述的测量办法测量出两棵松树的高度。它们的高分别为31米和6米。请求出两棵松树树梢间的距离。
【解】事实上，我们只需要利用勾股定理就可以求出两棵松树树梢的距离了，见图1-16。AB=≈47（米）。
图1-16?测量两个松树树梢间的距离
树干的形状
倘若你漫步于林中，此时你正为自己已经掌握了六七种测量物体高度的方法而窃喜，突然一个问题又在你脑中浮现：如何测量大树的体积呢？只要测量出体积并称出大树的重量，就可以知道运输大树的车的大小了。然而，这两个问题并不像测量树高那样简单，目前为止，专家们尚未找到能精确测量大树体积和重量的办法，但是找到了一种可以无限接近真实数据的办法。因为哪怕在你面前放置一棵已经被伐倒的大树，你也不可能精确地测量出它的体积。
为什么呢？原来是因为：即使是表面十分平整的大树，它也不可能是圆柱、圆台或圆锥的形状，所以它不能像其他几何体那样能按照公式精确计算出它的体积。大树不同于圆柱，因为它上细下粗；它也不同于圆锥，因为它的母线是直线而不是曲线。
如此想来，我们只能运用微积分法来计算出无限接近大树实际体积的值。也许有人会问：测量这么简单的木材也要运用到高等数学吗？或许还有人认为：掌握初等数学的知识就足够让我们解决日常生活中的问题了，高等数学只会在特殊情况下才使用。然而，这些想法都是不正确的。我们可以用初等数学准确地计算出恒星和行星的体积，但是却无法利用初等数学去精确地测量一段木材或一个啤酒桶的体积。所以，我们只能利用高等数学中的解析几何和微积分。
我们可以想象：一棵树的树干体积接近于圆台体积，而它的树梢体积则接近于圆锥体积；如果树干比较短，那么它的体积就接近于圆柱体积。在这种情况下，这棵树的体积就很好计算了。我们能否找到一个公式对这三种情况都适合呢？有了这样的公式，就很容易解决上述问题了。而这个公式，专家们其实已经想出来了。
公式
数学上的辛普森公式如下：
V=（b1 4b2 b3）
式中h——立体的高度；
b1——底面的面积；
b2——中间截面面积；
b3——上底的面积。
这个公式就是所谓的公式，它不但对圆柱、圆锥和圆台适用，对棱柱、棱锥和棱台一样适用，而且还对圆球适用。
【题】试证明公式对以下七种几何体都适用：圆柱、圆台、圆锥、棱台、棱柱、棱锥和球体。
【解】只要把各类几何体的相关参数代入到公式中，得到的结果和正常计算体积时一样，证明就成立。
对于圆柱、棱柱[图1-17（a）]：V=（b1 4b2 b3）=bh1
对于圆锥、棱锥[图1-17（b）]：V=（b1 4× 0）=
对于圆台[图1-17（c）]：
V= πR2 4π（）2 πr2
V= πR2 πR2 2πRr πr2 πr2
V=（R2 Rr r2）
同样的方法也能用于证明棱台。
对于球体[图1-17（d）]：
V=R2 0=4πR3
【题】假如公式只能用于计算前述的几何体体积，那就不可被称为公式了。事实上，只要改变公式中的字母含义，它就可以用于计算平面图形的面积。
图1-17?公式用于计算平面图形的面积
h：高度；b1：下底底长；b2：中间线的长度；b3：上底底长。
要怎样去证明这个说法呢？
【解】一样的道理，只要把参数代入公式就可以得到证明。
对于平行四边形、正方形和矩形[图1-18（a）]：
S=（b1 4b2 b3）=bh1
对于梯形[图1-18（b）]：S=（b1 4× b3）=（b1 b3）
对于三角形[图1-18（c）]：S=（b1 4× 0）=
图1-18?公式对于求这些图形的面积适用
未伐倒的树木体积和质量计算法
现在我们就可以用公式去计算大树的体积，不必管它是圆柱还是圆锥或者圆台了。然而这还是步，接着我们还要获得以下数据：大树的上、下底面积，中间的横截面面积以及树高。大树的上、下底面积都比较容易测量。要是没有找到一种特殊的设备（量径尺：一种测量物体直径的仪器），测量中间的横截面面积就有点困难（图1-19、图1-20）。但这个困难也是可以解决的。只要我们测量出物体的周长，它的直径就可以用公式计算出来了。圆的周长公式是：
A=2πr
图1-19?用量径尺测量树的直径
注：著名的测量圆形物体的量径尺就是用这种方法制成的
图1-20?量径尺（左）和微分尺（右）
利用这种方法计算得出的大树体积，其精确度可满足许多实际工作要求。事实上，还有一个更为简单的办法：把大树看作一个圆柱体，大树中间部位的直径相当于圆柱的直径。这是个非常简单的计算方法，但它的精确度并不高，误差率通常维持在12%左右。假如我们把树干分成许多截，每截长2米，然后把每截都看作一个圆柱体，这样的计算就能得出比较接近真实体积的数值，它的误差值在2%～3%之间。
实际上，这个方法也有一个缺点：不能测量没被砍倒的大树。因为我们不可能爬到大树上去测量，而只能测量较为方便的大树底部面积。在实际工作中，我们解决这个问题的办法通常是采用一种近似值的估算，这为林业工作者大量使用。办法是：使用“材积系数表”来计算。这需要把树干当成是圆柱体，先测量出离地1.30米处树干的直径并把它作为圆柱的直径，再把这个直径的值乘以相应的系数，如图1-21所示。对于种类不同、高度不同的树木，其系数也不相一致，但差别很小。在密林中的松树和柏树两个种类的树干，其系数范围是0.45～0.51，换句话说，其系数值约等于0.5。
因此，我们可以如此计算：把大树看成一个圆柱体，把离地 1.3米处的树干直径作为圆柱的直径，大树的高度相当于圆柱的高度，这样计算所得的大树体积为真实体积的两倍。换言之，实际体积等于计算体积的一半。如此计算出的结果并不会有很大的误差，只有2% ~ 10%。还差后一步我们就能估算出大树的质量了。
后一个数据是密度。一般大树的密度为600～700千克/立方米。
例如：一棵柏树的高是28米，距离地面1.3米处的周长是120厘米。它的质量约为：
M =ρv=ρπr2h=ρπ（）2h≈1000（千克）
所以它的质量约为1000千克。
树叶上的几何学
【题】我们经常会在一棵高大的白杨树下发现一棵较小的白杨树。你是否发现一个奇怪的现象：小树的叶子要比大树身上的叶子长得宽大。尤其是比有充足光照的叶子还要大。这是因为，阴影中的小树只有让自己的叶子更加宽大才能得到更加充分的阳光照射。不过这是植物学家所关心的事，关于几何学，我们关心的是：能否计算出大叶子比小叶子大多少倍。
下面，来分析这个问题的思考过程。
【解】实际上我们只要求出每片叶子的面积，然后计算二者的比例就可以得出结果。常用于测量面积的方法是：把一张透明的方格纸铺在树叶上方，因为小方格的面积都一样，所以只要数出树叶上所覆盖的方格数就可以算出其面积（一般略去小于方格的，大于方格的则算为一个）。这个办法虽然较为精确，但免不了烦琐。
我们在观察树叶时可以发现，虽然一棵树上的两片叶子大小不同，但形状却是相似的，用几何学的语言来说就是两片叶子是相似的。因此可以想一个较为简单的办法。通常来说：如果两个图形相似，它们的面积比等于其直线比的平方。所以只要我们计算出两片叶子的长或宽的比值，它们的面积比也就显而易见了。
例如：大树叶子的长是4厘米，小树叶子的长是15厘米，它们长的比值为。
根据相似的性质，我们就能计算出它们的面积比是
=≈14
但是由于在这个过程中出现了较多的估算，因此我们得出的结论是小树的叶子面积约为大树叶子面积的15倍。
再来看看下一个题目。
【题】有两棵叶子大小不同的蒲公英，它们的叶子长度分别为31厘米和3.3厘米。大叶子面积是小叶子面积的多少倍呢？
【解】根据上述原理，两片叶子面积的比例是
=≈90
所以大叶子的面积约为小叶子的面积的90倍。
在森林漫步时，我们通常会发现许多大小不一但形状十分相似的树叶，这在几何学中成为相似图形。如果一个不太熟悉几何学的人，他会感到十分惊讶：两片长宽差别不是很大的叶子，面积却相差得很大。
比如有两片形状相似的叶子，其中一片的长是另一片的1.2倍，但面积竟然是另一片的1.4倍（1.22≈1.4）。所以两片叶子面积差为40%。假如两片叶子的长相差了40%，如此计算，它们的面积相差2倍（1.42≈2）。
六条腿的大力士
你们知道吗？蚂蚁确实是一种非常神奇的小生物！因为它所举起的“庞然大物”与它弱小的身躯毫不相称。
如图1-22所示，一只蚂蚁在顺着植物茎向上爬行，它身上居然背着比它身体大几倍的物体。看到这样的情形，我们不禁心生疑问：这只弱小的蚂蚁，它怎么会有力气举起比自己身体重10倍的物体呢？如果拿人相比较，就相当于一个人背着一架大钢琴在梯子上爬。这根本是不可能做到的。如此说来，是不是蚂蚁要比人更强大呢？真的是这样吗？不用几何学来解释这个问题是比较困难的。我们先来了解一下专家关于肌肉和力量的科学解释，然后再来分析人和蚂蚁的对比。
动物的肌肉就仿佛是一个有弹性的韧带，而肌肉并不是因为弹性而收缩，而是出于别的原因，并且在神经刺激下恢复正常。从生理学实验中可知，只要把电流接到相对应的神经或者肌肉上，也可以让肌肉收缩。下面，我们利用刚死的青蛙身上的肌肉完成这个实验。原因是，在常温下，冷血动物的肌肉就算是在体外也能长时间保持活性。
实验方法并不难，把青蛙弯曲的后退的主肌——腿肚肌——和附在其上的大腿骨、腱子一起取下来。这段肌肉无论是其大小、形状都是十分适宜的，用于实验也十分的便利。把这段大腿骨挂起来，然后在腱子上穿一个钩子，利用这个钩子来悬挂砝码。假如有电流通过肌肉，肌肉就会收缩，同时提起砝码。通过增加砝码的重量，我们就能测算出这段肌肉的举重程度。现在，我们逐一把两条、三条、四条一样的肌肉连接起来，然后对其实施电流刺激。我们可以看到如此做并没有增大它的举重力，反而是提高的高度增加了好几倍。如果我们把2条、3条、4条肌肉用并联的方式捆在一起，用电流对其刺激，结果是它的举重力随着肌肉的增加而递增。同样，如果这些肌肉生长在一块，它的举重力也会是这个结果。因此，是肌肉的粗细（横截面的大小）决定肌肉的举重力大小，而不是肌肉的长度或重量。
现在，再来看看各种形状相似、大小不同的动物的比较。
假设：这里有两只动物，第二只动物的直线尺寸是只的两倍，那么按理说，第二只动物的体积重量及其各器官的体积和重量应该是只动物的八倍；实际在平面上，第二只动物的各部分，包括其肌肉横截面积，是只的四倍。换言之，即使一只动物的身长是原来的两倍，体重是原来的八倍，它的肌肉力量也只是原来的四倍。所以相比较而言，这只动物的体力和体重的增加相比少了一半。同样的，即使一只动物的高度是同类的3倍（面积是其同类的九倍，体重上是其同类的27倍），相对的体力也只有另一只的1/3；同样的，4倍长的动物，它的的举重力相对也只有前一只的1/4。
动物的肌肉力量并不与体积和重量同比例增长这个原理，恰恰能解释为什么昆虫（蚂蚁、黄蜂等）能背负大于自身重量三四十倍的重物，而相比较而言，在正常情况下，人类（除运动员和重物搬运工）只能负荷自身体重9/10的重物，而马匹也只能负荷自身体重7/10的重物。
知道上述的原理后，我们必须换一种角度来思考克雷洛夫所讽刺的蚂蚁勇士的功绩。克雷洛夫是这样描述的：
有一只力大无比的蚂蚁，至今为止，都没听说过能有如此大的力气；它甚至可以高高地举起两粒对它而言巨大的麦粒。
名师点评
本章所涉及的几何学主要表现为相似三角形在树木长度测量中的应用。相似三角形指的是形状相同、大小不同的两个三角形，其判定方法通常指：
两角对应相等的两个三角形相似，如果有两组对应的角相等，则三角形相似。
对应到本章的测量大树高度的模型，其特别之处在于，大树和人为提供的标杆都是竖直放置（比如图1-6、图1-7的直杆），可以看作是两条平行线，形成的两个三角形的对应夹角自然是相等的。几何模型可以抽象为下图。图中，AB//DE，易得三角形ACE ~ 三角形HEF。
进一步地，根据相似三角形的性质（相似三角形的对应边成比例），不难得出=。所以，要想求出AB的长度，只需获取DE、BC、CE的长度即可，此时，AB=。本章提供的几种方法，则是分别通过不同的实物模型给出了三个量的大小。特别要说明的是，图1-5和图1-6运用了特殊角的三角形模型（等腰直角三角形），使得运算更为简单，但其根本原理依然是相似三角形的性质。
除了上述提到的“A字形”相似模型之外，图1-11借助同角的余角相等的原理，图1-14中利用镜面反射的原理，分别构造了两个相似三角形。具体几何模型如下图，具体判定方法不再赘述。
[1]?1英尺=0.3048米。
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