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| 編輯推薦： |
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本书层次分明、逻辑结构严谨、详细而不啰嗦、精炼而不失实。本书的讲解不局限于模糊数学的基础知识，而是用大量的篇幅来讲解模糊数学的应用。为了使读者可以验证学习的效果、巩固所学的内容，每章后面都附有具有代表性的习题。
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| 內容簡介： |
本书介绍了传感器的基本知识和基本特性、传感器的标定和校准方法以及应用技术，重点阐述了各类传感器（电阻应变式、电感式、电容式、压电式、热电式、光电式、数字式、磁敏、气敏、湿敏传感器等）的转换原理、组成结构、特性分析、设计方法、信号调理技术及其在日常生活和生产过程中的典型应用，并对其他现代新型传感器作了简要介绍。
本书可作为高等院校测控技术与仪器、自动化、电子信息工程、物联网等专业的教材，也可作为其他相近专业高年级本科生和硕士研究生的学习参考书，同时可供从事电子仪器及测控技术工作的人员参考。
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| 目錄：
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第1章模糊集合与隶属函数
1.1经典集合
1.1.1经典集合概念及其表示
1.1.2经典集合的运算
1.1.3经典集合的性质
1.1.4经典集合映射为函数
1.2模糊集合
1.2.1模糊集合运算
1.2.2模糊集合的性质
1.3隶属函数
1.3.1隶属函数的特征
1.3.2凸模糊集
1.3.3多维隶属函数的讨论
1.3.4模糊化
1.3.5隶属度的赋值
习题
第2章模糊关系
2.1笛卡儿积
2.2清晰关系
2.2.1清晰关系的运算
2.2.2清晰关系的性质
2.2.3复合
2.2.4清晰等价关系
2.2.5清晰相似关系
2.3模糊关系
2.3.1模糊关系的运算
2.3.2模糊关系的性质
2.3.3模糊关系的复合
2.3.4模糊相似关系和等价关系
2.4赋值
2.4.1余弦幅度法
2.4.2其他相似性方法
习题
第3章模糊向清晰的转换
3.1模糊集的分割
3.2模糊关系的分割
3.3分解定理与表现定理
3.3.1分解定理
3.3.2集合套与表现定理
3.4非模糊化方法
习题
第4章模糊聚类分析
4.1数据集的c分类
4.1.1硬c分类
4.1.2硬c均值Hard cmeans，HCM算法
4.2基于等价关系的模糊聚类分析
4.2.1模糊聚类的等价关系基本思想
4.2.2基于等价关系的模糊聚类分析步骤
4.2.3最佳阈值的确定
4.3基于模糊c均值的聚类算法
4.3.1模糊c划分
4.3.2模糊c均值Fuzzy cmeans,FCM聚类算法
4.3.3FCM聚类算法存在的问题
习题
第5章模糊模式识别
5.1模糊向量
5.2贴近度
5.3模糊模式识别的基本原则
5.3.1最大隶属原则
5.3.2择近原则
5.3.3多个特性的择近原则
5.4模糊模式识别的应用
习题
第6章扩张原理与模糊数
6.1模糊变换
6.2扩张原理
6.3多元扩张原理
6.4模糊数
6.4.1区间数
6.4.2模糊数
习题
第7章模糊逻辑和模糊推理
7.1经典逻辑
7.1.1集合与命题
7.1.2逻辑联结词
7.2模糊语言与语言变量
7.2.1集合描述语言系统
7.2.2模糊语言算子
7.2.3语言值及其四则运算
7.2.4模糊语言变量
7.3模糊逻辑
7.3.1模糊命题
7.3.2模糊联结词
7.4模糊推理
7.5蕴涵运算的其他形式
7.6复合运算的其他形式
7.7基于规则的系统及其推理的图解方法
7.7.1规则的形式
7.7.2规则的分解和聚合
7.7.3基于规则的推理图解法
习题
第8章模糊控制系统
8.1模糊控制的基本思想
8.2模糊控制系统的组成
8.3模糊控制器
8.3.1模糊控制器的基本结构
8.3.2模糊控制器各主要组成部分的功能
8.3.3模糊控制器的基本类型
8.4模糊控制器的设计
8.4.1模糊化
8.4.2数据库
8.4.3规则库
8.4.4模糊推理
8.4.5去模糊化
8.4.6建立查询表
8.5模糊控制器实例
8.5.1被控对象的特点和控制任务
8.5.2模糊控制器设计
习题
第9章模糊综合评判、多目标决策、模糊预测
9.1模糊综合评判
9.1.1模糊综合评判法的思想和原理
9.1.2模糊综合评判的模型和步骤
9.2多目标决策
9.3模糊预测
9.3.1模糊时间序列预测
9.3.2模糊回归预测
习题
第10章模糊线性规划
10.1经典线性规划简介
10.1.1线性规划
10.1.2多目标规划
10.2模糊约束条件下的极值问题
10.3模糊线性规划
10.4多目标模糊线性规划
10.4.1多目标线性规划的模糊最优解
10.4.2约束条件有伸缩性的多目标模糊线性规划问题
习题
参考文献
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| 內容試閱：
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前言
自从罗特夫扎德Lotfi Zadeh博士于1965年在《信息与控制》杂志上发表了一篇开创性论文《模糊集合》以后，经典数学的一些观念受到颠覆，引导人们更多地试图通过这一新的数学思想来描述我们的认识、判断和推理，由此形成了新的数学分支模糊数学。模糊数学和经典数学的不同之处在于模糊数学处理的都是边界含糊不清的或者说模糊的概念、对象，这实质上是针对有别于随机性的不确定性问题，这种不确定性问题大量地存在于我们自己的主观感受中，这是无法精确衡量的。可以说，模糊数学为定量化地描述我们的认识、判断、推理及其外在形式自然语言提供了一种强大的工具。因此，学习好模糊数学，能够为管理决策建模和计算机人工智能等领域的研究提供一种新的数学工具。事实上，目前，模糊数学和模糊推理的方法已经在工业系统控制、智能家电、智能交通、模糊决策等领域有了广泛而成功的应用。更为可喜的是，它还在刚刚兴起的文本挖掘、自然语言理解等商务智能和语义网智能等领域受到青睐。可以预见，模糊数学将在管理和计算机智能等具有模糊性系统领域发挥更大的潜力和作用。正是基于这样的认识，在系统总结模糊系统数学新的方法与应用基础上，结合编者在模糊系统数学方面十余年的教学体会，编写了这本教材。本书共分为10章，第1章介绍了模糊数学的基本概念及其性质，重点阐述了模糊集合的性质、模糊集合的运算及模糊集合隶属函数的确定； 第2章介绍了模糊关系的性质与运算； 第3章介绍了分割的概念，讲解了模糊向清晰转换的重要概念及方法，给出了模糊向清晰转换在工程管理方面的应用举例； 第4章介绍了模糊聚类的一些方法及模糊聚类的应用； 第5章介绍了模糊模式识别的概念、性质、方法、应用； 第6章介绍了模糊扩张原理和模糊数相关内容，介绍了扩张原理中的有关重要定理； 第7章介绍了模糊逻辑和模糊推理的基本理论，及其在语言处理方面的应用； 第8章介绍了模糊控制系统的组成、应用，通过实例详细介绍了模糊控制系统的构建过程； 第9章介绍了模糊综合评判、多目标决策、模糊预测的主要内容，重点介绍了这些方法在经济管理中的应用； 第10章介绍了模糊线性规划的性质、应用等内容。为了让读者能对模糊数学的应用有更深的了解，编者在本书中列举了大量的应用示例，对于示例的选取，编者尽量偏重管理学方面较为成熟的示例。每一章后面的习题，有利于读者自己检验学习的效果。本书可以作为本科生高年级和研究生的教材使用。在本书的编写过程中，编者的研究生张向阳、孙娜、崔雪莲、韩琪玮、戚方丽、洪月、宋爽、于明朕、李静、彭振、韩金波、张铭今、杨凡、睢国钦、刘晓君做了大量的资料收集、校对工作，编者在此一并表示衷心的感谢。对于本书的编写，编者参考了多个国内外有关模糊数学方面的教材和专著详见参考文献，以期博取众家之长，在此表示衷心感谢。尽管编者力求严谨和规范，但限于编者的水平和时间，书中难免存在一些错误和纰漏，敬请各位专家、读者批评指正。编者
2016年7月
第1章
模糊集合与隶属函数
1.1经 典 集 合1.1.1经典集合概念及其表示
论域在讨论时，把议题局限于一定的范围，这一讨论范围，即被讨论的全体事物，就称为论域，常用大写字母U、V等表示。论域可简称域，根据其性质可分为离散域和连续域。集合给定一个论域，其中，具有某种属性的事物的全体，称为论域上的一个集合，常用大写字母A、B、X、Y等表示。论域本身也是集合，称为全集。元素集合中的每一事物，称为这个集合的元素，常用小写字母a、b、x、y等表示。属于元素是个体的概念，集合是整体的概念，它们之间具有属于和不属于的关系，如a属于A，记作aA； a不属于A，记作aA。集合及其定义域的一种有用属性称为基数性或基数的度量。集合X中的元素总数称为基数，记作nX。由可数且有限的元素所构成的集合具有有限基数； 由无限个元素所构成的集合具有无限的基数。由集合内部分元素构成的集合，称为子集。集合和子集常当作同义词用，因此任何一个集合也可以说是全集X的一个子集。论域X上的集合A和B有下列概念：AB表示集合A完全包含于集合B，即如果xA，则xB，且至少存在一个元素yB且yA。AB表示集合A包含于集合B，即如果xA，则xB。A=B表示集合A等价于集合B，即AB且BA。把不包含任何元素的集合定义为空集，记作。空集是任何集合的子集，即对任意集合A，有A。空集对应于不可能发生的事件，全集对应于必然发生的事件。X的所有可能子集所构成的一个特殊集合称为幂集，记作PX。例1.1现有一个由三元素组成的论域X={a，b，c}，其基数nX=3，其幂集为
P（X）={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
幂集的基数记作npxnp（X），为np（x）=2nx=23=8np（X）=2nX=23=8。注意： 如果论域的基数是无限的，则幂集的基数也是无限的，即
nX=，则np（X）=。
1.1.2经典集合的运算令A和B为论域X上的两个集合。两集合的并集记作AB，表示域X中属于集合A或属于集合B的所有元素所构成的集合。两个集合的交集记作AB，表示论域中既属于集合A,同时又属于集合B的所有元素所构成的集合。集合A的补集记作，定义为论域内不在集合A中的所有元素构成的集合。集合A与集合B的差集记作A|B，定义为论域内在集合A中但同时又不在集合B中的所有元素构成的集合。下面用集合论来表示上述运算。并集： AB={x|xA或xB}1.1交集： AB={x|xA和xB}1.2补集： ={x|xA,xX}1.3差集： A|B={x|xA且xB}1.4
1.1.3经典集合的性质从经典集合的定义出发，我们不难得到以下的一些重要性质。交换律： AB=BA1.5AB=BA结合律： ABC=ABC1.6ABC=ABC分配律： ABC=ABAC1.7ABC=ABAC幂等律： AA=A1.8AA=A同一律： A=A1.9AX=A零律： A=AX=X1.10传递性： 如果ABC，那么AC，还原律： A=A1.11集合运算的两个特殊性质称为排中定律和德摩根定律。这里将结合集合A和集合B对这两定律进行说明。排中定律实际上有两条［式1.12已给出］： 第一，称为排中律，论述集合A和其补集的并集； 第二，称为矛盾律，表示集合A和其补集的交集。1 排中律： A=X1.12a2 矛盾律： A=1.12b德摩根定律的重要性在于它们不仅能证明逻辑中的赘述和矛盾，还能应用于大量的集合运算的证明之中。德摩根定律：
AB=1.13a
AB=1.13b
设Eii=1,2,,n为同一论域上的系列集合，则德摩根定律的通用形式为
E1E2En=E1E2En1.14a
E1E2En=E1E2En1.14b
由式（1.4）可以得出一种对偶关系： 并集或交集的补分别等价于相应的补集的交或并。例1.2在管理学中团队合作非常重要，如图1.1所示，只有团队1和团队2共同都成功，才可以达到目标。如果有一个团队失败，则达不到目标。如果E1=团队1的成功，E2=团队2的成功，那么目标达到=E1E2。反之达不到目标=E1E2逻辑上，只要一个团队失败，即当E1E2时，目标就达不到。所以E1E2=E1E2，这就是对德摩根定律的说明。
图1.1目标达到图
图1.2物资输送图
例1.3如图1.2所示，现在有A、B两处均可以向C处输送救灾物资，1、2和3分别代表道路。1、2两条道路中的任一条都能够经由道路3向C处输送救灾物资。设E1=道路1故障，E2=道路2故障，E3=道路3故障，则不能将救援物资输送到C处事件E1E2E3发生，若能将救援物资输送到C处则是该事件的补。运用德摩根律，可得成功将救援物资输送到C处的情况是
E1E2E3=E1E2E3
其中E1E2表示可以将救援物资从A或者B输送到道路3处，E3表示道路三无故障。
1.1.4经典集合映射为函数映射是在将元素的集合论形式与函数论表示相结合的一个重要方法和概念。通过映射可以将一个论域的元素或集合映射成另一个论域内的元素或集合。设X和Y是两个不同的论域，又设论域X中的元素x与论域Y中的元素y相对应，通常称这种对应关系为论域X到论域Y的映射，或记为f： XY。一种特殊的映射我们称为特征函数，记为A，其定义为
Ax=1,xA
0,xA1.15
这里Ax表示元素x在集合A中的特征值，Ax=1代表x属于集合A，Ax=0代表x不属于集合A。特征函数A形成了论域X内元素x到论域Y={0,1}内的元素之间的一种映射，如图1.3所示。
图1.3特征函数是关于清晰集合A的一种映射
现根据特征函数定义，我们对集合的并、交、补等运算重新进行表示。设在域X上有两个集合A和B，根据特征函数有
AB： ABx=AxBx=maxAx,Bx1.16
其中符号表示取最大值运算在逻辑学上称为析取运算。
AB： ABx=AxBx=minAx,Bx1.17
其中符号表示取最小值运算在逻辑学上称为合取运算。
： x=1－Ax1.18
相同域中的两个集合A和集合B，如果集合A包含于集合B，那么在函数论术语中，包含为
AB： AxBx1.19
1.2模 糊 集 合在现实世界中，我们遇到的很多对象是模糊的、不能精确定义的。如好与坏之间我们找不到精确的界限，因此对于这一类的集合我们无法用经典集合的理论来表示，而模糊集合的出现则正好补充了经典集合的这一缺陷。模糊集合是一个有着不同隶属度的元素的集合。这与经典或称清晰集合的概念正相反，因为清晰集合是不可能有非全隶属度的元素的即其隶属度为1。一个模糊集合中的元素可以是同一域内另一个模糊集合的元素，因为其隶属度可为非全隶属度取值。用函数论的形式将模糊集合的元素映射到一个隶属度值域内，模糊集合在本书中用集合符号下面加画波浪线表示。例如，A～表示模糊的集合A～，该函数将模糊集合A～的元素映射为0~1区间上的实数值。如果该域上的某个元素x是模糊集合A～的成员，那么该映射可用A～x［0,1］表示。
图1.4为模糊集合A～的隶属函数。
图1.4模糊集合A～的隶属函数
当论域X是离散和有限时，模糊集合A～的习惯标记为
A～=A～x1x1 A～x2x2 =iA～xixi1.20
当论域X是连续和无限时，模糊集合A~记作
A～=A～xx1.21
在上述两个标记中，水平线或斜杠为标记方便，下面常用斜杠表示不表示商而是定义符。每个表达式的分子是集合A～的隶属度值，集合A～与用每个表达式名称所表示的域内元素有关。第一种标记中，求和的符号不表示代数和，而是各个元素的汇集或聚集； 所以上式中的 号不是代数和中的加号，而是函数论中的并。在第二种标记中，积分符号不表示代数积，而是对连续变量求连续函数论中的并。1.2.1模糊集合运算
在论域X上定义三个模糊集合A～，B～，C～，对域内给定元素x，在X域上的模糊集合A～、B～、C～在集合论中的并、交、补运算的函数论运算定义如下：并集： A～B~x=maxA～x,B~x1.22
交集： A～B~x=minA～x,B~x1.23
补集： ～x=1－A～x1.24
模糊集合进行上述运算的扩展了的文氏图如图1.5~图1.7所示。
图1.5模糊集合A～和B～的并集
图1.6模糊集合A～和B～的交集
图1.7模糊集合A～的补集
域X上的模糊集合A～是该域上的一个子集。如同对经典集合的定义一样，空集中任意元素x的隶属度值为0，全集X中元素的隶属度值为1。注意在本书中所提的空集和全集为非模糊集合不带下画波纹线。下面是这些概念的相应表示：
A～XA～xXx1.25a
x=0,对所有xX1.25b
Xx=1,对所有xX1.25c
域X上所有模糊集合和模糊子集的集合记作模糊幂集P～X。很显然，所有模糊集合都可重叠，模糊幂集的基数nP～X是无限的； 即nP～X=。经典集合的德摩根定律也适用于模糊集合，可由下列表达式表示：
A～B～=～～1.26a
A～B～=～～1.26b
排中定律是所描述的集合性质中唯一的一种不能对经典集合和模糊集合都成立的集合运算，其他的同时适用于经典集合与模糊集合。排中定律的两条法则不适用于模糊集合，因为模糊集合之间会重叠，模糊集合与其补集也会重叠。扩展到模糊集合的排中定律可表示成：
A～～X1.27a
A～～1.27b
图1.8和图1.9分别为经典清晰集合与模糊集合的排中定律相比较的扩展了的文氏图。
图1.8清晰集合的排中定律
图1.9模糊集合的排中定律
1.2.2模糊集合的性质模糊集合有着与清晰集合相似的性质。正因为清晰集合的隶属度值是［0,1］区间上的一个子集，清晰集合可认为是模糊集合的一个特例。模糊集合常用性质列举如下：交换律：
A～B～=B～A～
A～B～=B～A～1.28
结合律：
A～B～C～=A～B～C～
A～B～C～=A～B～C～1.29
分配律：
A～B～C～=A～B～A～C～
A～B～C～=A～B～A～C～1.30
幂等律：
A～A～=A～和A～A～=A～1.31
同一律：
A～=A～和A～X=A～
A～=和A～X=X1.32
传递性：
如果A～B～C～，那么A～C～1.33
还原律：
A～=A～1.34
例1.4设论域X={1,2,3,4}上有两个模糊集合，分别为A～=01 0.42 0.63 14B～=01 12 0.83 0.44现运算两个模糊集合的补集，并集，交集，差集，并验证德摩根定律，排中定律。补集：~=11 0.62 0.43 04~=11 02 0.23 0.64并集：A～B～=01 12 0.83 14交集：A～B～=01 0.42 0.63 0.44差集：A～|B～=A～~=01 02 0.23 0.64B～|A～=B～~=01 0.62 0.43 04德摩根定律：A～B～=A～B～=11 02 0.23 04A～B～=A～B～=11 0.62 0.43 0.64
1.3隶 属 函 数对于一个特定模糊集来说，隶属函数基本上体现了其所有的模糊性，因此这种描述也体现了模糊特性或运算的本质。本节将叙述并举例说明3种常用的建立隶属函数的方法。1.3.1隶属函数的特征既然隶属函数描述了模糊集中所包含的所有内容，那么建立描述这种函数的专业术语是相当重要的。为简明起见，设以下各图中所表示的函数均为连续的，而术语在离散和连续的模糊集中可同等使用。模糊集合A～的隶属函数的核定义为集合A～中具有完全的和全隶属度值的区域。即核是由具有A～x=1的域内元素x所组成，记为kerA～。我们称核非空的集合为正规模糊集，反之则称为次正规模糊集。模糊集合A～的隶属函数的支集定义为集合A～中具有非零隶属度特征的区域，即支集是由A～x0所包含的论域中元素x所组成的，记为suppA～。模糊集合A～的隶属函数的边界定义为集合A～中具有非零且又非完全隶属度值特征的区域，即边界是由00时，因A～x=e－x是减函数： 故有：
x1e-xe-x2
即A～xA～x1A～x2
因此，A～为凸模糊集。定理1.1若A～,B～是凸模糊集，则A～B～也是凸模糊集。
1.3.3多维隶属函数的讨论隶属函数可以是对称的或非对称的，它们一般定义在一维论域上，但也可以在多维或n维论域上来描述。例如本章给出的隶属函数是一维曲线，在二维中连续隶属函数就构成了曲面，在三维或多维中连续隶属函数又构成了超曲面。这些超曲面或曲线是从n维空间中参数的组合到区间［0,1］上的隶属值的简单映射。再者，该隶属值表示了一个特定模糊集的隶属程度，该模糊集定义在n维论域上，由n维空间中参数的特殊组合构成。一个n维论域中的超曲面与概率密度函数相类似，当然，在一个特定集合上隶属函数的映射是隶属关系，而与频率无关。1.3.4模糊化模糊化是一个使清晰变量模糊的过程，我们可以有这样一个简明的认识，许多我们认为是清晰的、确定的量，实际上根本不确定，它们带有相当大的不确定性。如果由于不精确、模棱两可而引起的不确定情况，则变量可能是模糊的，并可用隶属函数来表示。在现实世界中，硬件数字电压表能得到清晰的数据，但这种清晰数据又受试验误差的影响。图1.12显示了一个典型的电压读数的可能误差范围以及表示这种非精确性的相关的隶属函数。
图1.12用隶属函数表达清晰的电压读数的非精确性
当数据用于模糊系统时，如何表示用于模糊集的非精确数据是有用的，但并非是必不可少的。图1.13说明了该概念，其中可把数据当成清晰读数，如图1.13a所示，或把数据当成模糊的读数，如图1.13b所示。在图1.13a中，我们要将清晰的电压读数与称为低电压的模糊集作比较。在图中，我们看到清晰读数与低电压模糊集相交于隶属度为0.3处，也可以说模糊集与读数在隶属度值为0.3处是一致的。在图1.13b中，中电压模糊集和模糊的电压读数相交于隶属关系0.4处。在图1.13b中我们可以看到这两个模糊集的交集是一个小三角形，其最大隶属关系在隶属值0.4处。
图1.13模糊集与清晰读数或模糊读数的比较
1.3.5隶属度的赋值给模糊变量赋予隶属度值或隶属函数的方法可能比给随机变量赋予概率密度函数所用的方法更多些。这种赋值过程直观，并可建立在一些算法或逻辑运算之上。本节就直觉、推理和模糊统计，以及指派方法等5种隶属度或隶属函数的确定方法给予介绍，并用简单例子予以阐述。1. 直觉这种方法几乎不需要什么介绍，人类用自己的智慧和认识来建立隶属函数。直觉包含着问题的上下文和语义上的有关知识，也包含了对这些知识的真实语言学价值。例如，讨论可变模糊温度的隶属函数，图1.14表示在用摄氏温度计测出的摄氏温度域上的各种形式，
图1.14可变模糊温度的隶属
每条曲线为不同模糊变量，如很冷冷常温热很热等所对应的隶属函数。当然，这些曲线起相互关联的作用并可提供人们进行分析。例如，如果把人们感到舒适的温度归成一类，我们就可以得到一个曲线簇，如果把蒸气汽轮机安全操作的温度范围归成一类，我们又可以得到另一个曲线簇。但是，为了达到能用于模糊运算的目的，我们把这些曲线的相交部分作为它们的重要特征。在实际应用中，这些曲线的精确形状并不那么重要，在本书的后面部分，将有大量的例子来说明这一点。更明确地说，最重要的概念是： 在所讨论的论域上，这些曲线是近似的，所用到的是这些曲线部分的数目及其相交的特征。
2. 推理在推理法中，我们要用到演绎推理，即我们希望通过对给定的一批论据和知识进行演绎或推理来得到一个结论。这种方法有多种形式，这在文献中已得到证实。但是，我们这里要讲的是一种与几何学及几何形状相关联的。在三角形的识别中，设A、B、C为三角形的三个内角，且设ABCD，设U是满足此条件的三角形的全集，即
U{A,B,C|ABC0； A B C=180}1.35
我们定义一些几何图形，希望以此能够识别满足式（1.35）约束的任何角度集合。为此，我们定义了下列五种三角形类型：I～近似等腰三角形R～近似直角三角形IR近似等腰直角三角形E～近似等边三角形T～其他三角形我们可以用推理法推出所有这些种类的三角形的隶属值，因为我们具有的几何知识可以帮助我们为隶属关系赋值，所以我们用此知识来导出一种算法，以帮助我们获得满足式1.35的角的集合的隶属关系的隶属值。对于近似等腰三角形，当ABC0，且A B C=180时，关于其隶属关系我们有下列算法：
I～A,B,C=1－160minA－B,B－C（1.36）
例如，如果A=B或B=C，则近似等腰三角形的隶属值为I～=1； 如果A=120，B=60，C=0，则I～=0。对于一个模糊直角三角形，我们有
R～A,B,C=1－190|A－90|（1.37）
例如，当A=90，则模糊直角三角形的隶属值为R～=1； 当A=180，则其隶属关系成为0，即R～=0。对于近似等腰直角三角形（在清晰度范围中仅有一种），我们可以发现其隶属函数是取等腰和直角三角形隶属函数的逻辑交（and运算），或：
IR=I～R～
从而有
IRA,B,C=min［I～A,B,C,R～A,B,C］
=1－max160minA－B,B－C,190|A－90|（1.38）
对于模糊等边三角形的情况，其隶属函数是由
E～A,B,C=1－1180|A－C|（1.39）
例如，当A=B=C，则其隶属值为E～（A,B,C）=1； 当A=180，则其隶属关系成为0，或E～=0。最后，对于所有其他三角形（所有与I、R和E不同的三角形），我们完全引用前三种情况的逻辑并对补［或者，由德摩根定律］，即这些三角形补的交
T～=I～R～E～=～～～
从而有
T～A,B,C=min［1－I～A,B,C,1－E～A,B,C,1－R～A,B,C］
=1180min{3A－B,3B－C,2|A－90|,A－C}1.40
例1.6定义一个特殊的三角形，它有3个有序的角，如图1.16所示。
{X： A=85B=50C=45,A B C=180}
图1.15一个特殊的三角形
对于图1.15给出的模糊三角形，其每种模糊三角形类的隶属值可由式（1.36）～式（1.40）来确定，如下所列：
R～（x）=0.94
I～（x）=0.916
IR（x）=0.916
E～（x）=0.7
T～（x）=0.05
所以图1.15给出的三角形属于模糊直角三角形集，即R～集中有最大隶属度。但是要注意到是： 图1.15给出的三角形在模糊等腰三角形集和模糊等边三角形集中也有较大的隶属度。
3. 模糊统计方法（1） 隶属度的客观存在性。对于隶属度的确定有不同的观点与处理方法。为了说明隶属度的客观存在性，先介绍模糊统计实验。① 模糊统计试验。所谓模糊统计试验包含四个要素：a. 论域U；b. U中的一个固定元素u0；c. U中的一个可变动的集合A*经典集合，此处所指的可变动集合是指随机调查等方法所获得的集合；d. U中的一个以A*作为可塑性边界的模糊子集A～，制约着A*的变动。A*可以覆盖u0，也可以不覆盖u0，因而u0对A～的隶属关系不确定。模糊统计试验特点是： 在各次试验中，u0是固定的，而A*是可变动的。② 隶属度的客观存在性。在模糊统计试验中，u0是固定的，A*是可变动的，A*是对A～的一次近似。A*可以覆盖住u0，也可以不覆盖住u0，这就使得u0对A～的隶属关系是不确定的。这种不确定性， 正是由于A～的模糊性产生的。设做n次试验，可以算出A*覆盖u0的次数，即u0对A～的隶属频率=u0A*的次数n。实践证明，随着n的增大，隶属频率呈现出稳定性，频率稳定值称为u0对A～的隶属度，即A～u0=limnu0A*的次数n。这里的隶属频率呈现出的稳定性正表明了隶属度的客观存在性。（2） 模糊统计方法。下面通过实例说明模糊统计方法。例1.7为了建立模糊集A～=青年人的隶属函数，以及u0=27岁属于模糊集A～青年人的隶属度。以年龄作论域U=［0,100］，张楠纶等进行过一次较大的模糊统计实验，他们在武汉某高校进行抽样调查，要求被抽取的大学生在独立认真考虑了青年人的含义后，给出青年人的年龄区间，随机地抽取了129人，相应得到了青年人的129个年龄区间（见表1.1）
表1.1青年人调查统计数据
18~2517~3017~2818~2516~3514~2518~3018~3518~3516~2515~3018~3517~3018~2518~3520~3018~3016~3020~3518~3018~2518~3515~2518~3015~2816~2818~3018~3016~3018~3518~2518~3016~2818~3016~3016~2818~3518~3517~2716~2818~3016~3019~2815~3015~2617~2515~3618~3017~3018~3516~3516~3015~2518~2816~3015~2818~3518~3017~2818~3515~2815~2515~2515~2518~3016~2415~2516~3215~2718~3516~2518~3018~3516~3018~3518~3018~3017~3018~3018~3516~3018~2817~1515~3018~2517~3014~2518~2618~2918~3518~2818~3518~2516~3517~2918~2517~3016~2818~3016~2815~3018~3016~3018~2815~3516~2517~3015~3018~3016~3018~2815~3516~3016~3018~3518~3518~3017~3016~3517~3015~2518~3515~3015~2515~3018~3017~2518~2918~28
为了确定u0=27岁属于模糊集A～青年人的隶属度，对u0=27做统计处理，结果如表1.2所示。其中n表示样本总数，m为样本区间盖住27的频数，而f=mn为隶属频率。以n为横坐标，隶属频率f为纵坐标，绘制图形（图1.16）。
表1.227岁属于青年人的统计
n102030405060708090100110120129m61423313947536268768595101f0.600.700.770．780.780.780.760.780.760.760.770.790.78
图1.16隶属频率图
统计结果表明，27岁的隶属度稳定在0.78附近，因此A～27=0.78。为了作出青年人的隶属函数A～x，采用方框图法。由表1.1可知，最小数据是14，最大数据是36。于是，以13.5岁为起点，36.5岁为终点，以1为长度，作23个区间的划分，数据如表1.3所示。
表1.3年龄域的区间划分及频数
序号年龄分组频数相对频数113.5~14.520.0155214.5~15.5270.2093315.5~16.5510.3953416.5~17.5670.5194517.5~18.51240.9612618.5~19.51250.9690719.5~20.51291820.5~21.51291921.5~22.512911022.5~23.512911123.5~24.512911224.5~25.51280.9922
续表
序号年龄分组频数相对频数1325.5~26.51030.79841426.5~27.51010.78291527.5~28.5990.76741628.5~29.5800.62021729.5~30.5770.59691830.5~31.5270.20931931.5~32.5270.20932032.5~33.5260.20162133.5~34.5260.20162234.5~35.5260.20162335.5~36.510.0078以年龄为横坐标，相对频率为纵坐标，绘出A～x的隶属度分布，如图1.17所示。由此可以求出，A～27=0.78。
图1.17青年人的隶属函数图
模糊统计与概率统计的区别是： 若把概率统计比喻为变动的点是否落在不动的圈内［如图1.18a，试验A固定，随机变化］，则可将模糊统计比喻为变动的圈是否盖住不动的点［如图1.18b，试验u0固定，A*是可变动的］。
图1.18模糊统计与概率统计的区别
4. 指派方法指派隶属函数的方法普遍被认为是一种主观的方法，它可以把人们的实践经验考虑进去。若模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数便成为模糊分布。所谓指派方法，就是根据问题的性质，套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。常用的模糊分布如表1.4所示。
表1.4常用的模糊分布
模糊分布类型偏小型中间型偏大型
矩形分布A～x=1,xa
0,xa
A～x=0,xb
1,axb
A～x=0,xb
T分布A～x=1,x0
A～x=1,x0
A～x=ekx－a,x0e－kx－b,xd
正态分布A～x=1,xae－x－a2,xa
A～x=e－x－a2
A～x=0,xa1－e－x－a2,xa
柯西分布A～x=1,xa11 x－a,xa
0,0
A～x=11 x－a
0,为正偶数
A～x=0,xa11 x－a,xa
0,0
续表
模糊分布类型偏小型中间型偏大型
岭形分布A～x=1,xa12-12sina2－a1
x－a2 a12,a1a2
A～x=0,xa112 12sina2－a1x－a2 a12,a1a2
为了便于读者操作，根据实际描述的对象，在这里给出指派或选择的大致方向。偏小型模糊分布适合描述像小冷青年以及颜色的淡等偏向小的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为A～x=1,xafx,xa其中，a是常数，而fx是非增函数。偏大型模糊分布适合描述像大热老年以及颜色的浓等偏向大的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为A～x=0,xafx,xa其中，a是常数，而fx是非减函数。偏中型模糊分布适合描述像中暖和中年等处于中间状态的模糊现象，其隶属函数可以通过中间型模糊分布表示。需要指出的是，确定模糊集的隶属函数的方法是多样的，但这些方法所给出的隶属函数只是近似的，因此需要在实践中不断地通过学习，加以修正，使之逐步完善。例如，在论域U={1,2,,9}上确定A～=靠近5的数的隶属函数，用指派方法易知，选用中间型A～x=11 x－52，容易算得A～x=0.061 0.12 0.23 0.54 15 0.56 0.27 0.18 0.069
A～4=A～6=0.5，不符合实际。若将其隶属函数修改为A～x=11 15x－52，则A～x=0.241 0.362 0.563 0.834 15 0.836 0.567 0.368 0.249这表明修改后的隶属函数有所改善。若再次修改为A～x=11 110x－52，则A～x=0.381 0.532 0.713 0.914 15 0.916 0.717 0.538 0.389
表明再次修改后的隶属函数比较符合实际。因此，A～=靠近5的数的隶属函数可确定为A～x=11 110x－52，即使最后确定了一个隶属函数，它也是近似的，只是近似程度要好些。5. 比较排序法可以通过一个人、一个小组、一次民意测验、一次市场调研及其他评价方法来比较，并确定模糊变量的隶属值。其中通过二元比较，进而确定隶属度是常用的手段之一。例1.8（择优比较法）假设要求1000人在X={红，橙，黄，绿，蓝}五种颜色中选优。在颜色论域上定义一个最佳颜色的模糊集A～。表1.5就是评价调查一览表。在这张表中，例如，来自1000人中，对红色与橙色而言，有517人更喜欢红色，对橙色与黄色而言，有841人更喜欢橙色，回答的总数为10000个10种比较，如果把每种颜色优选的总和每一行的和作为调查回答的总和，则排序便可如表中最后2列所示来确定。
表1.5喜欢颜色的比较
每颜色对中优选色的人数红橙黄绿蓝%排序
红-517525545661224822.52橙483-841477576237723.81黄475159-534614178217.84绿455523466-643208720.93蓝339524386357-1506155合计
10000
图1.19最佳颜色的隶属函数
如果在颜色域上按照从小到大的次序将这些颜色的优选百分比（表1.5的%列）画成一个标准的比例图，就会得到最佳颜色的隶属函数。这样，隶属函数就可以在排序的基础上建立起来（表1.5的最后一列）。
例1.9 设论域U=u1,u2,u3,u0，其元素u0代表国外某名牌家电产品，而u1，u2，u3则代表国产同类产品，若考虑国产的产品在功能、外形等特性上对国外名牌产品的相似这样一个模糊概念，可用相对比较法确定隶属度函数。首先对每两个元素建立比较级。如果u1和u2相比较，对u0的相似程度分别为0.9和0.6； 而u1和u3相比较的话，对u0的相似程度又分别为0.6和0.4。使用guiuj来表示ui和uj相比较，uj对u0的相似程度。这时各元素对u0的相似程度为：gu1u1=1,gu2u1=0.9,gu3u1=0.6gu1u2=0.6,gu2u2=1,gu3u2=0.5gu1u3=0.4,gu2u3=0.8,gu3u3=1
为了简单明了，可表示为表1.6。
表1.6不同产品的相似程度
guiuju1u2u3u110.90.6u20.610.5u30.40.81然后按式gu1u2=gu2u1max{gu2u1,gu1u2}，即式gu1u2=gu2u1gu1u2,当gu2u1gu1u2时1，当gu2u1gu1u2时
计算相关矩阵元素guiuj。gu1u1=1，gu1u2=0.90.9，gu1u3=0.60.6gu2u1=0.60.9，gu2u2=1，gu2u3=0.50.8gu3u1=0.40.6，gu3u2=0.80.8，gu3u3=1构成相关矩阵G，并对每行元素取最小值，得到G=1110.6710.630.6711，g=g1,g2,g3T=［1,0.63,0.67］T。最后，按大小排序为10.670.63。结果是对于某类家电产品，国产产品u1在功能、外形上最类同于国外名牌产品u0（隶属度为1），国产产品u3次之（隶属度为0.67），而国产产品u2在功能和外形上与u0差别最大（隶属度为0.63）。由此，即可确定其隶属函数的大致类型。6. 借用已有的客观尺度在经济管理等社科领域中，可以直接借用已有的尺度（经济指标）作为模糊集的隶属度。比如，在论域U设备上定义模糊集A～=设备完好，以设备完好率作为隶属度来表示设备完好这个模糊集是十分恰当的。在论域U（产品）上定义模糊集B～=质量稳定，可用产品的正品率作为产品属于质量稳定的隶属度。在论域U（家庭）上定义模糊集C～=贫困家庭，可用恩格尔Engel系数=食品消费支出总消费支出作为隶属度来表示家庭贫困程度。例1.10（经济管理中的模糊集）在经济领域还没有引进模糊集时，人们只好把本来互相衔接的属性，如繁殖、衰退、萧条等分割开来。某些经济学家用GNP持续下降6个月来规定经济衰退。这样一来，奇怪的现象就出现了：
图1.20偏大型模糊分布隶属函数
如果GNP从元旦开始持续下降，而今天刚好是7月1日，那么昨天经济形势还挺好，今天突然变成衰退。
事实上，经济衰退是一个模糊概念。现在引进模糊集，在论域U={GNP}上定义一个模糊集A～=经济衰退。采用指派方法，用x表示GNP下降的月数，容易选择偏大型模糊分布为A～经济衰退的隶属函数，如图1.20所示：
即A～x=1－exp－x23.62x0。
习题1. 设论域R实数域, xR,A～x=e－x－122,B～=e－x－222求A-，A～B～,A～B～,并作图。2. 用特征函数表示下列集合，并作特征函数图形：（1） 大于2小于5的实数；（2） 小于10的素数；（3） 圆x2 y2=1及圆类的点。3. 设模糊集A～的隶属函数如下，试证明它的凸性。
A～x=0x1
4. 论域U=［0,24］表示时间（单位： h），试根据你的经验绘出表现中国冬季拂晓中午傍晚三个模糊概念的模糊集的隶属函数。5. 现使用问卷的方式来调查某地区民众对各个季节的喜好程度，问卷共调查了1000人，使用择优比较法来进行优选，调查结果如表1.7所示，每一行的和表示该行季节问卷调查的总和： ①试给各个季节排序，并给出各季节的隶属度。②思考你所给的隶属度是唯一的吗？还有什么计算隶属度的方法？
表1.7季节喜好的调查统计
每季节对中优选择的人数春夏秋冬春-691450695夏309-545648秋550455-514冬305352486-
第2章
模糊关系
关系是模糊数学中重要的概念，理解关系这一概念是弄清楚本书中许多问题的关键，关系分为经典关系和模糊关系。经典关系是集合论中最基本的概念之一，它抽象地刻画了事物间精确的联系，而模糊关系则从更深刻的意义上表现了事物间更广泛的联系。本章先介绍经典关系的一些主要概念和结论，然后着重介绍模糊关系的定义、性质及其合成运算，如笛卡儿积、关系的复合、相似和等价性质等，最后介绍关于赋值方面的内容，用来讨论得到关系元素的各种方法。2.1笛 卡 儿 积
定义2.1对于任意n个集合X1,X2,,Xn，其笛卡儿积定义为
X1X2Xn={x1,x2,,xn|xiXi,i=1,2,,n}2.1
其中x1,x2,,xn为有序n元组，n=2时，称此二元组为序偶。当X1=X2==Xn=X时，X1X2Xn可写为Xn。例2.1设A={x,y,z},B={1,2,3}，则AB={x,1,x,2,x,3,y,1,y,2,y,3,z,1,z,2,z,3}AA={x,x,x,y,x,z,y,x,y,y,y,z,z,x,z,y,z,z}2.2清 晰 关 系
笛卡儿积上的子集称为关系。例如： X到Y的关系R是指笛卡儿积XY的一个子集，既然关系是集合，那么就可以用特征函数来表示，设R的特征函数为
R（x,y）=1x,yR
0x,yR，则R： XY{0,1}。2.2
例2.2X={1,2,3}, Y={a,b,c},设关系R={1,a,1,b,2,b,2,c3,c}，RXY。当论域或集合离散且有限时，关系可很方便地用一个矩阵表示出来，称此矩阵为关系矩阵。一个r元关系可用一个r维矩阵来表示，因此，二元关系可用一个二维矩阵来表示，记作R（见表2.1）。
表2.1清晰二元关系矩阵
Xrij
Y
x1x2xn
y1Rx1,y1Rx2,y1Rxn,y1y2Rx1,y2Rx2,y2Rxn,y2ymRx1,ymRx2,ymRxn,ym例2.3设X={1,2,3}, Y={a,b,c},关系矩阵为
abc
R=123110011001
这一关系也可用图2.1矢图矢图是一种简单的用点表示论域中的元素，用线表示点间的关系的图形直观表示。
例2.4在许多生物模型中，某些种类的成分只能由另一些成分繁殖，因此，在两个或两个以上的论域中只有一些元素在笛卡儿积中有关系非零。如图2.2所示，例中有两个论域，即X={1,2}，Y={a,b}。在这种情况下，设关系矩阵为
R={1,a,2,b}，RXY
则R中零的位置和矢图中无连线对应着两个论域上无关的元素对，即关系强度为0。
图2.1非约束关系矢图
图2.2约束关系矢图
例2.5关系也可以定义在连续论域上，例如，考虑由下式
R={x,y|x2 y21,xX,yY，X，Y均为实数集}
定义的连续关系，则可以用特征函数给出其函数的表达形式：
Rx,y=1x2 y21
0x2 y21
从图形上看，该关系等同于图2.3所示的阴影部分。
图2.3关系与表达式x2 y21对应
2.2.1清晰关系的运算定义R和S为XY上的两个独立关系，且分别定义零关系和全关系为关系矩阵O和E。对于4阶方阵的情况：
O=0000000000000000，E=1111111111111111
现在定义两个二元的清晰关系的运算如下：并： RS： RSx,y=max［Rx,y,Sx,y］2.3交： RS： RSx,y=min［Rx,y,Sx,y］2.4补： ： x,y=1－Rx,y2.5包含： RS： Rx,ySx,y2.6同一性： ： O and X： E2.7以上运算很容易推广为多元的情况，在此不再详述。2.2.2清晰关系的性质清晰关系的交换、结合、分配、对和及幂等性质和经典集合的运算相同。并且和经典集合一样，德摩根定律和排中率也可用于清晰关系。2.2.3复合定义2.2设R是集合A到集合B的关系，S是集合B到集合C的关系。对于xA及zC,存在yB，使得x,yR且y,zS，这时通过y,x与z的关系就叫作关系R与S复合合成，它是由A到C的一个关系，记为T，即
T=RS={x,z|yB,且x,yR,y,zS}2.8
复合关系可由图2.4直观表示。
图2.4复合关系
以图2.5为例，在关系R和S之间有两条始于x1止于z2的通道，显然x1,z2T ，我们希望找到一种复合算法来确定T。
图2.5三个论域中对应元素关系的矢图表示
复合运算主要有两种算法，一种称为最大最小复合； 另一种是最大积复合。最大最小复合用集合论和特征函数的表达式可定义为
T=RS2.9
Tx,z=yYRx,ySy,z2.10
最大积复合有时也称最大点积用集合论和特征函数的表达式可定义为
T=RS
Tx,z=yYRx,ySy,z2.11
上式表示R和S之积取最大。关系R与其自身的合成RR，叫作关系的幂，记为R2，类似地可以定义n次幂的运算Rn=Rn－1R。例2.6
y1y2y3y4 z1z2
R=x1x2x3101000010000，S=y1y2y3y401000100
最大最小复合：
Tx1,z1=maxmin1,0,min0,0,min1,0,min0,0=0
最终获得z1z2
T=x1x2x3010000
最大积复合：
Tx1,z1=max10,00,10,00=0
清晰关系的最大积复合与最大最小复合的结果一致。例2.7设X=x1,x2,x3,x4，Y=y1,y2,y3，Z=z1,z2,z3，X到Y的关系R={x2,y3,x3,y1,x4,y3}，Y到Z的关系Q={y2,z3,y3,z1}，求RQ。解： R与Q的关系矩阵分别为：
R=000001100001,Q=000001100
按两矩阵的乘法运算规则，将其中的乘，换成，加换成，则有
RQ=000001100001000001100=000100000100
从而RQ={x2,z1,x4,z1}。
2.2.4清晰等价关系下面我们讨论一类特殊的关系，设关系R是X到X上的关系，即RXX，并由此引出等价关系的概念。定义2.3设R是非空集X上的关系RXX1 若对xiX都有xi,xiR，则称R是自反的，即
Rxi,xi=1
否则R称为非自反的。2 对xi,yjX，若有xi,xjR，则必有xj,xiR，则称R为对称的，即
Rxi,xj=Rxj,xi
否则称R为非对称的。3 对xi,xj,xkX，若xi,xjR且xj,xkR，必有xi,xkR，则称R为可传递的，即
若Rxi,xj=1,Rxj,xk=1，则必有Rxi,xk=1
否则R称为非传递的。若关系R同时具有自反性、对称性和传递性，则称为等价关系。并不是所有的关系都是等价关系，例如实数集上的关系=为自反的、对称的、传递的； 关系是自反的、非对称的、传递的； 关系}3.2
称为A～的强割集。显然，AX,AX,AA。注意割集A不带下画线，它是从模糊集A～中派生出来的清晰集。因为区间［0,1］内有无穷多个的取值，故任何一个特定的模糊集A～都派生出无穷多个割集。元素xA是A～中隶属等级大于或等于值的元素，下面举例说明。
例3.1企业按照工作业绩奖励优秀员工，6位候选者a,b,c,d,e,f的评分分别为： 100,95,76,65,30,0。设模糊集A～表示优秀员工，按个人得分与最高分的比值作为属于A～的隶属度。则A～定义在论域X=a,b,c,d,e,f上，用Zadeh法标记为A～=1a 0.95b 0.76c 0.65d 0.30e 0f该模糊集如图3.1所示。择优录取就是要将模糊集A～转化为经典集合，我们可以将其化为几个割集。例如我们可以定义对应于=1,0.9,0.7,0.6,0.3,0 和0的割集：A1=a，A0.9=a,b，A0.7=a,b,c，A0.6=a,b,c,dA0 =a,b,c,d,e，A0=X
图3.1离散模糊集A～
我们定义=0 为等于一个刚好大于0的值。根据定义，A0=X，因为X中的所有元素都至少有存在于任何模糊集中的0隶属值。所有的A都是清晰集，故例子中割集的所有元素在特定割集中都有单位隶属值。
图3.2表示了=1,0.9,0.7,0.6,0.3,0 和0时各清晰割集的情况，通过将这些隶属值与域X比较，可看出： 割集的作用就是重新标定这些隶属值，即把模糊集A～中隶属值大于或等于的所有元素的隶属值标定为1，并把模糊集A～中隶属值小于的所有元素的隶属值标定为0。
图3.2=1,0.9,0.7,0.6,0 和0时的割集
我们可以用Zadeh标记法来表示割集。对于图3.1中的=0.9和0.6割集表示如下：A0.9=1a 1b 0c 0d 0e 0fA0.6=1a 1b 1c 1d 0e 0f
定理3.1设模糊集A～，B～，［0,1］，则：（1） A～B～=AB.3.3a
（2） A～B～=AB3.3b
（3） A～B～=AB3.3c
（4） A～B～=AB3.3d
（5） ～，当0.5时3.3e
（6） 对于任意其中01，均有AA（3.3f）证明： ［0,1］,A～B～=x|A～B～x
={x|A～xB～x}
={x|A～x或 B～x}
={x|A～x}{x|B～x}
=AB同理可证其他各式。这些特性表明： 对模糊集而言，先标准运算后进行分割等效于先分割后进行标准运算。式（3.3f）用图解表示将更为方便，图3.3所示为一个有两个分割值的连续值模糊集合，可看到当图中=0.3和=0.6时，A0.3的范围要大于A0.6,即由于0.30.6，故A0.6A0.3。
图3.3连续模糊集的两个不同的割集
定理3.2设模糊集A～t，其中tT,T为整数集，［0,1］，则：（1） tTA～ttTA～t;（3.4a）（2） tTA～t=tTA～t;（3.4b）（3） tTA～t=tTA～t;（3.4c）（4） tTA～ttTA～t.（3.4d）证明： （1） xX,xtTA～t
t0T,xA～t0A～t0xtTA～txxtTA～t（2） xX,xtTA～t
tT,xA～ttT,A～txtTA～txtTA～txxtTA～t（3）和（4）的证明方法类似。
定理3.3A～为凸模糊集，当且仅当［0,1］，截集A为凸集。对于上述定理，感兴趣的读者可自行证明。
3.2模糊关系的分割
定义3.2设R～为模糊关系，对任意的［0,1］，（1） R=x1,x2,,xn|R～x1,x2,,xn
称为R～的分割。（2） R=x1,x2,,xn|R～x1,x2,,xn
称为R～的强分割。当R～为定义在笛卡儿空间XY上的模糊关系，由于一个二维模糊关系与一个模糊矩阵一一对应，因此模糊关系的分割即为模糊矩阵的分割。我们简单地给出模糊关系的分割的几个性质：
（1） R～S～=RS（3.5a）（2） R～S～=RS（3.5b）（3） R～R-,0.5（3.5c）（4） 对任意的0}（3.9）Ker A～={x|xX,A～x=1}3.10
分别称Supp A～、Ker A～为A～的支集与A～的核。当Ker A～时，称A～为正规模糊集。在例3.1中，Ker A～={a}，Supp A～={a,b,c,d,e}。从割集的性质可知，当从1下降趋于0时，A从A～的核Ker A～（可能为空集）逐渐向A～的支集Supp A～扩展，因此可以将A～看作经典集合族{A|［0,1］}的总体。下面的分解定理反映了这一事实。定理3.5（分解定理Ⅰ）设A～是论域X上的模糊集，则有A～=［0,1］A3.11
证明： A是模糊集A～的截集，是经典集合，则其特征函数为Ax=1,A～x0,A～xH,1.3.13c证明： （1） AHA
AHAA～=［0,1］A［0,1］H［0,1］A=A～A～=［0,1］H（2） 对xX，有xA2A～x21xA1所以，有1H,1的证明留作习题。分解定理表明，一个模糊集合可以分解为一串经典集合A与的数积的并集，它象征着大量的清晰事物在不同的判断标准下错综地叠加在一起，总体上形成了模糊事物 。例如，地球上的好人，是一个模糊集合，总体上看，它是由毫不利己的人做过很多好事的人做过几件好事的人等各种层次上的好人所形成的。如果已知一个模糊集A～的所有割集A，则对每个xX，由分解定理可得推论：推论3.1若已知模糊集A～的所有割集A，［0,1］，则xX，有A～x={|［0,1］,xA}（3.14）
证明： 由定理3.5，xX，有A～x=［0,1］Ax
=0A～x
={|［0,1］,xA}
这表明A～x的值是含有x的一切A中最大的值。因此，分解定理给出了利用经典集A表示模糊集的一种方法。例3.1中［0,1］，有A={a,b,c,d,e,f},=0
{a,b,c,d,e},0}根据前面割集的性质知，A、A都是集合套。因此，HiUX，i=1,2。分解定理说明，一个模糊集可以由它自己分解出来的集合套表示。那么，任意给一个集合套能否表示一个模糊集呢？表现定理给出了肯定的回答。定理3.8（表现定理）设HUX，则［0,1］H是X上的一个模糊集，记作A～，并且,［0,1］，有
1 A=H,1.（3.16b）证明： 按照数积的定义，［0,1］，HPX，则HP～X，故［0,1］H是论域X上的模糊集。记A～=［0,1］H按广义分解定理，若满足条件AHA，便可得（1）和（2），下面证明此条件成立。［0,1］，有xAA～x［0,1］Hx
［0,1］Hx
0［0,1］，使0H0x
0且H0x=1
xH0H1
xHHx=1
［0,1］HxHx=
A～xxA因此，条件AHA成立。推论3.2设HUX，记A～=［0,1］H则（1） ［0,1］，AHA（2） A～x=sup{|xH,［0,1］}=xH表现定理为构造模糊集提供了方便，这对于从事理论研究和实际应用都有重要意义。本书对此不做详细论述，更多内容请参考文献［14］［31］。
3.4非模糊化方法有些场合需要将模糊过程的输出转换为与模糊集相对的单一数值。非模糊化就是将一个模糊量转换为一个确定量，就如同模糊化是将一个确定量转换为一个模糊量一样。一个模糊过程的输出常常是两个或更多模糊隶属函数的逻辑并集，这些函数是定义在所讨论输出变量的值域上的。例如，假设一个模糊输出是由图3.4a所示的梯形隶属函数C～1和图3.4b所示的三角形隶属函数C～2这两个部分组成的。这两个隶属函数的并集为C～=C～1C～2，其图形就是图3.4中a和b两个图形的外轮廓，结果如图3.4c所示。
图3.4典型模糊过程的输出
当然，一般模糊输出过程可以包含许多输出部分多于两个，其代表每个部分的隶属函数还可以用除三角形和梯形以外的形状表示。而且，这些隶属函数不可能总是像图3.4a一样的标准。通常，我们有
C～=ki=1C～i
研究人员在近年来的许多文献中，至少提出了七种将模糊输出函数隶属函数非模糊化的常用方法。这里归纳如下，并结合例子予以说明。（1） 最大隶属值方法： 也称作高度法，这种方法是由输出函数的峰值所决定，其代数表示式为
C~z*C~z3.17
图3.5为该方法示意图。
（2） 质心法： 这种方法又叫面积中心法或重心法是所有非模糊化方法中最流行和引人注意的方法，该方法的代数表示式为
z=C～zzdzC～zdz（3.18）
式中，表示代数积分。图3.6是该方法示意图。
图3.5最大隶属值非模糊化方法
图3.6质心非模糊化方法
（3） 加权平均法： 这种方法仅适合于输出隶属函数是对称的情况，它的代数表示式为
z=C~iz-z-C~iz-3.19
式中，表示代数和，z-表示各对称隶属函数的中心，该方法如图3.7所示。加权平均方法是由对其输出的每个隶属函数的最大隶属值进行加权来实现的。
图3.7所示的两个隶属函数可作为一个例子，其加权平均后的非模糊化值得结果的一般形式为
z*=［a0.5 b0.9］0.5 0.9
由于该方法仅限于对称的隶属函数，所以，数值a和b分别是各自图形的平均值。
图3.7加权平均非模糊化法方法
（4） 平均最大隶属值法： 该方法又叫最大值中间法与第一种方法非常接近，不同之处是最大隶属值的位置可以不是唯一的即最大隶属值可能是曲线的某个平坦部分，而不仅是在单个点取最大隶属值，该方法可表示为
z*=a b23.20
式中，a和b如图3.8所示是最大隶属值区域的起点和终点。
图3.8平均最大隶属值非模糊化方法
例3.3某铁路公司打算在一个县的某个特定地区铺设一条新铁路线。因此必须购买新铁路线所经过的整个地域以作为铁路用地。现在收集了前后三次勘测整个地域的数据以作分析。有关路段的数据用集合B～1、B～2、B～3给出，其中这些集合是根据铁路用地的宽度来定义的，单位是米m。铁路公司为了购置土地，必须对所要购置的大片土地进行估价。然而，对铁路用地宽度的三次勘测却是模糊的。因为，所提出的铁路沿线的某些地区已经是公共场所，没有必要购买了。另外，最初的勘测已经太早大约是1860年，以至在公共铁路用地与旧的公用线路和道路的界线上有些模糊不清了。图3.9~图3.11所示的3个模糊集B～1、B～2和B～3，分别表示了在私有土地上每次对铁路用地宽度进行勘测结果的不确定性或隶属函数，单位是米m。
图3.9模糊集B～1： 第一次勘测的公用铁路用地宽度z
图3.10模糊集B～2： 第二次勘测的公用铁路用地宽度z
图3.11模糊集B～3： 第三次勘测的公用铁路用地宽度（z）
现在，我们要汇集这三次勘测结果求出一个最接近所代表铁路用地的宽度z，以便铁路公司作出铁路用地购置费的原始估价。利用式（3.18）、式（3.20）和前面3个模糊集，我们可求出z*。根据式（3.18）表示的质心方法，可以求出
Z*=B~zzdzB~zdz
=100.3zzdz 3.610.3zdz 43.6［z－32］zdz 5.540.5zdz
65.5z－5zdz 76zdz 878－zzdz
100.3zdz 3.610.3dz 43.6［z－32］dz 5.540.5dz
65.5z－5dz 76dz 878－zdz
=4.9m
其中z*示于图3.12。根据式（3.19）表示的加权平均法可求得
z*=［0.32.5 0.55 16.5］0.3 0.5 1=5.41m
其结果示于图3.13。根据式（3.20）的平均最大隶属值方法可求得
z*=6 72=6.5m
结果示于图3.14。
图3.12质心法求得的z*
图3.13加权平均法求得的z*
图3.14平均最大隶属值法求得的z*
以上讨论了4种方法，另外3种常用方法即求和中心法、最大面积中心法和第一最大值法，虽还有待于完善，但考虑它们也有不少应用，故讨论如下。（5） 求和中心法： 这种方法比目前使用的许多非模糊化方法都要快。其过程包括求各单个输出模糊集如C～1、C～2的代数和，以代替求它们的并。这种方法的一个缺点是相交的面积要进行两次加法。它的非模糊值z*由下式给出：
z*=zznk=1C～kzdzznk=1C～kzdz（3.21）
该方法与式（3.19）的加权平均方法类似，不同的是求和中心法的权值是上述各隶属函数的面积，而加权平均法的权值是各个隶属值。图3.15说明了求和中心法。
图3.15求和中心法
（6） 最大面积中心法： 如果输出模糊集至少有两个凸的子区域，则最大面积凸模糊子区域的重心即用式（3.18）的质心方法计算z*就作为输出的非模糊值z*。图3.16为该方法的示意图，其代数表达式为
z*=zC～mzzdzzC～mzdz（3.22）
式中，C～m表示组成的最大面积的凸子区域。这一式子既适用于总的C～是非凸的情况，也是用于C～是凸的情况。若C～为凸，此时，由质心方法或最大面积中心法所确定的z*是同一个量因为这时只有一个凸的区域。（7） 首或尾最大值法： 这种方法是从总的输出或所有单个的输出模糊集的并集C～中确定最大隶属度域中的最小值，其中z*求法如下：首先，确定并集的最大幅值，记为hgtC～，
hgtC～=supxZC～z
图3.16最大面积中心法外轮廓是粗线部分
然后寻找第一个最大值首最大值
z*=infxZ{zZ|C～z=hgtC～}（3.23）
与上述方法相反也可以求最后一个最大值尾最大值，它由下式求得：
z*=supxZ{zZ|C～z=hgtC～}3.24
在式（3.23）~式（3.24）中上确界sup是最小的上界，而下确界inf是最大的下界。该方法的图解如图3.17所示，在图中所示的情况下第一个最大值也就是最后一个最大值，因为它既是个别中的最大值，也是平均的最大值，故在此特殊情况下，式（3.17）、式（3.20）、式（3.23）和式（3.24）表示的方法都得出同一个非模糊化值z*。
图3.17首最大值（和尾最大值）方法
现在用最后介绍的3种方法继续讨论例3.3所提出的问题.例3.4继续例3.3中关于铁路公司计划铺设一条新铁路线的问题，我们将运用i求和中心法； ii最大面积中心法； iii首最大值法和尾最大值法。根据式（3.21）的求和中心法，考虑到各分隶属函数恰好都是梯形，求得z*如下：
z*=［2.50.50.33 5 50.50.52 4 6.50.513 1］
［0.50.33 5 0.50.52 4 0.513 1］=5.042
图3.18显示了计算结果。由于如图3.19所示整个输出模糊集是凸的，故式（3.22）的最大面积中心法和式（3.18）质心方法得出了同一个结果即z*=4.9。根据式（3.23）首最大值法和式（3.24）尾最大值求得的z*分别是图3.20中的z*1和z*2。
图3.18例3.3的求和中心法的结果
图3.19例3.3的输出模糊集是凸的
图3.20例3.3的首最大值法的z*1=6和尾最大值法的z*2=7
习题1. 以下是定义在X上的两个模糊集A～和B～。
xix1x2x3x4x5x6
A～0.10.60.80.90.70.1B～0.90.70.50.20.10
用Zadeh法表示下列割集（a） A0.7,（b） B0.4,（c） A～B～0.7,（d） A～A～－0.7,（e） A～B～0.7,（f）A～B～0.72. 设X={x1,x2,x3,x4}，Y={y1,y2,y3,y4}，给出X到Y的下列关系：R～=00.10.20.50.30.70.20.10.40.20.70.3，S～=0.10.20.30.50.70.60.20.80.60.40.30.9求R0.5， R～S～0.3。3. 试证明定理3.1中各式。4. 已知A～的截集分别为：A0.1={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}，A0.3={x2,x3,x4,x6,x7,x8}，A0.7={x2,x3,x6,x7}，A0.9={x3,x6,x7}，A1={x6}试用分解定理求出模糊集A～。5. 在定理3.7（广义分解定理）中，证明： ［0,1,A=H6. 设有R中的集合套（R=［-1,1］），有H=［2-1,1-2］［0,1］求由H所得的模糊集的隶属函数A～x，并作图。7. 在冶金学中，原料都是由各种金属和其他元素的混合物组成的，以实现某种特定的性能。某种钢的特殊制备品是由铁、锰和碳三种元素按两种不同的比例混合而成的，图3.21是从两种不同比例混合物中得到的归一化样值，并分别用模糊集A～1和A～2表示，现在想从中求出钢比例的 平均值。试用正文中所讨论的七种方法求出隶属函数逻辑并集的非模糊值化z，并对计算结果的差异进行说明。
8. 某两个公司为一个合同投标竞争。一个委员会必须考察这些公司的预算并写出考察报告。为了得到最终的考察结果，需要计算图3.22中的两个模糊集B～1和B～2并集的非模糊值。试用正文中讨论的七种方法求解图中隶属函数的逻辑并集的非模糊值化z。
图3.21模糊集A～1和A～2
图3.22模糊集B～1和B～2
第4章
模糊聚类分析
物以类聚，在数学上，把按一定要求和规律对事物进行分类的方法称为聚类分析，它是数理统计多元分析的一个分支，也是非监督模式识别的一个重要分支。它把一个没有类别标记的样本集按某种准则划分成若干个子集类，使相似的样本尽可能归为类，而不相似的样本尽量划分到不同的类中。传统的聚类分析是一种硬划分，它把每个待辨识的对象严格地划分到某类中，具有非此即彼的性质，因此这种类别划分的界限是分明的。而实际上大多数对象并没有严格的属性，它们在性态和类属方面存在着中介性，具有亦此亦彼的性质，因此适合进行软划分。现实的分类问题大多伴随有模糊性，用模糊集理论进行聚类的方法，称为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到的样本属于各个类别的不确定性程度，表达了样本类属的中介性，既建立起了样本对于类别的不确定性描述，更能客观地反映现实世界，从而成为聚类分析研究的有力工具。4.1数据集的c分类
给定数据集X={x1,x2,,xn}为m维空间中n个观测样本集，xk=xk1,xk2,，xkmT对应特征空间中的一个点，xkj为特征向量xk的第j维特征上的赋值。对给定样本集X的聚类分析就是要产生X的c个类别。4.1.1硬 c 分 类如果分类把普通集合分成c2c
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