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《信息融合估计理论及其应用》将邓自立教授独创的现代时间序列分析方法与经典卡尔曼滤波方法和经典系统辨识方法相结合，提出信息融合噪声统计与模型参数估计和信息融合状态和信号估计的新理论、新方法和新算法，并给出了在目标跟踪系统和信号处理中的仿真应用。全书共7章，包括在噪声环境下的多传感器系统多段信息融合辨识新方法和信息融合噪声统计和模型参数估计；基于经典卡尔曼滤波方法的最优和自校正信息融合状态和信号估计理论，基于现代时间序列分析方法的最优和自校正信息融合状态和信号估计理论；自校正信息融合状态和信号估计的收敛性分析理论。内容新颖、理论严谨，并给出了大量仿真例子。
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| 內容簡介： |
《信息融合估计理论及其应用》用作者独创的现代时间序列分析方法和经典Kalman滤波方法系统地提出了最优融合估计、自校正融合估计和鲁棒融合估计的新理论、新方法和新算法，其中包括最优和自校正融合、集中式和分布式融合、状态融合和观测融合Kalman滤波和Wiener滤波理论，及协方差交叉融合鲁棒Kalman滤波理论，并给出了在目标跟踪系统中的仿真应用。
《信息融合估计理论及其应用》内容新颖，理论严谨，理论体系完整，并含有大量仿真例子，可作为高等学校控制科学与技术、电子科学与技术、通信与信息技术、计算机应用技术等有关专业研究生和高年级本科生的教材，且对信号处理、控制、通信、航天、导航、制导、目标跟踪、卫星测控、GPS定位、检测与估计、故障诊断、机器人、遥感、图像处理、多传感器信息融合等领域的研究人员和工程技术人员也有重要参考价值。
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| 目錄：
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前言
第1章 绪论
1.1 多传感器信息融合产生的背景
1.2 信息融合概念和定义
1.3 估计理论的方法论
1.3.1 Kalman滤波方法
1.3.2 现代时间序列分析方法
1.3.3 时域Wiener滤波方法
1.3.4 系统辨识方法
1.4 信息融合估计理论的分支和进展
1.4.1 最优信息融合滤波理论
1.4.2 信息融合系统辨识
1.4.3 自校正信息融合滤波理论
1.4.4 CI融合鲁棒信息融合滤波理论
1.5 信息融合滤波的基本方法
1.5.1 集中式融合与分布式融合方法
1.5.2 状态融合与观测融合方法
1.5.3 最优加权融合估计方法
1.5.4 CI融合估计方法
1.5.5 信息融合辨识方法
1.5.6 自校正融合方法
1.5.7 自校正融合滤波器的收敛性分析方法
1.5.8 批处理、序贯处理和并行处理CI融合方法
1.6 小结
参考文献
第2章 信息融合估计的基本方法
2.1 最小二乘估计
2.1.1 最小二乘估计原理
2.1.2 一般最小二乘法估计公式推导及性质
2.1.3 RLS估计
2.2 WLS估计
2.2.1 WLS估计原理
2.2.2 一般WLS估计公式推导及性质
2.3 LUMV估计
2.3.1 LUMV估计原理
2.3.2 LUMV估计及性质
2.3.3 一般线性最小方差估计及性质
2.4 三种加权最优融合估计
2.4.1 按矩阵加权线性最小方差最优融合估计准则
2.4.2 按标量加权线性最小方差最优融合估计准则
2.4.3 按对角阵加权线性最小方差最优融合估计准则
2.5 CI融合估计
2.5.1 协方差椭圆及其性质
2.5.2 CI融合估计的几何原理
2.5.3 CI融合估值的一致性
2.5.4 最优参数ω的选择
2.5.5 CI融合估值的鲁棒性
2.5.6 CI融合估值的精度分析
2.5.7 CI融合估值与局部和三种加权融合估值的精度比较
2.6 小结
参考文献
第3章 Kalman滤波
3.1 引言
3.2 状态空间模型与ARMA模型
3.2.1 状态空间模型
3.2.2 ARMA模型
3.2.3 状态空间模型与ARMA模型的关系
3.3 正交投影与新息序列
3.4 Kalman滤波器、预报器和平滑器
3.4.1 Kalman滤波器和预报器
3.4.2 Kalman平滑器
3.5 信息滤波器
3.6 Kalman滤波的稳定性
3.7 稳态Kalman滤波及其收敛性
3.7.1 稳态Kalman滤波
3.7.2 稳态Kalman滤波的收敛性
3.7.3 稳态Kalman多步预报器和平滑器
3.8 白噪声估值器
3.9 基于Kalman滤波的时域Wiener滤波方法
3.9.1 ARMA新息模型
3.9.2 统一的Wiener状态估值器
3.9.3 状态分量解耦Wiener估值器
3.9.4 统一的白噪声Wiener估值器
3.9.5 Wiener观测预报器
3.9.6 多通道ARMA信号Wiener滤波器
3.10 标准Kalman滤波器的推广
3.10.1 带控制输入和观测偏差系统Kalman滤波
3.10.2 带相关噪声系统Kalman滤波
3.10.3 带相关噪声系统统一的白噪声估值器
3.10.4 带相关噪声系统稳态Kalman滤波和白噪声估值器
3.10.5 带相关噪声定常系统Wiener滤波
3.10.6 带有色观测噪声系统Kalman滤波
3.11 小结
参考文献
第4章 现代时间序列分析方法
4.1 引言
4.2 用Gevers-Wouters算法构造ARMA新息模型
4.2.1 求MA模型参数的Gevers-Wouters算法
4.2.2 用Gevers-Wouters算法构造ARMA新息模型
4.2.3 有理分式矩阵的左素分解
4.2.4 Leverrier-Fadeeva矩阵求逆算法
4.3 统一的稳态最优白噪声估计理论
4.3.1 ARMA新息模型
4.3.2 在无穷维Hilbert空间上的投影运算
4.3.3 稳态最优白噪声估值器
4.3.4 应用于设计ARMA信号最优滤波器和平滑器
4.4 多维?str?m观测预报器
4.4.1 ?str?m预报器
4.4.2 应用于设计ARMA信号最优预报器
4.5 稳态最优Kalman滤波和Wiener滤波
4.5.1 基于ARMA新息模型的稳态最优Kalman滤波
4.5.2 基于ARMA新息模型的Wiener滤波
4.6 α-β与α-β-γ跟踪滤波器
4.6.1 α-β跟踪滤波器
4.6.2 α-β-γ跟踪滤波器
4.7 单输入单输出系统快速稳态Kalman滤波算法
4.8 基于ARMA新息模型与基于Riccati方程的稳态Kalman滤波器的等价性
4.9 带观测滞后系统统一的和通用的Wiener状态估值器
4.10 ARMA新息模型与状态空间新息模型的关系
4.11 ARMA新息模型与最小实现
4.12 小结
参考文献
第5章 基于Kalman滤波方法的最优信息融合滤波理论
5.1 引言
5.2 全局最优集中式和分布式融合Kalman滤波器
5.2.1 集中式融合Kalman滤波器
5.2.2 全局最优的分布式融合Kalman滤波器
5.3 全局最优序贯分布式融合Kalman滤波器
5.4 最优加权状态融合Kalman估值器
5.4.1 局部Kalman滤波器及误差互协方差
5.4.2 局部Kalman预报器及误差互协方差
5.4.3 局部Kalman平滑器及误差互协方差
5.4.4 最优加权状态融合Kalman估值器
5.4.5 最优加权融合白噪声反卷积估值器
5.5 最优加权状态融合稳态Kalman估值器
5.6 多模型信息融合Kalman滤波
5.6.1 问题提出
5.6.2 多模型多传感器时变系统Kalman融合器
5.6.3 多模型多传感器定常系统稳态Kalman融合器
5.7 带观测滞后系统最优加权融合稳态Kalman估值器
5.8 带观测滞后的ARMA信号最优加权融合Wiener滤波器
5.8.1 基于状态估值器的ARMA信号Wiener融合器
5.8.2 基于白噪声估值器和观测预报器的ARMA信号Wiener融合器
5.8.3 仿真例子
5.9 相关观测噪声多传感器系统加权观测融合Kalman滤波算法
5.9.1 集中式融合Kalman滤波器算法
5.9.2 加权观测融合Kalman滤波器算法1
5.9.3 加权观测融合Kalman滤波器算法2
5.9.4 两种加权观测融合Kalman滤波算法的全局最优性
5.9.5 数值仿真例子
5.10 加权观测融合稳态Kalman滤波算法
5.11 加权观测融合Wiener滤波算法
5.11.1 加权观测融合Wiener状态估值器
5.11.2 Wiener状态融合器的功能等价性和渐近全局最优性
5.11.3 应用于ARMA信号加权观测融合Wiener滤波
5.11.4 仿真例子
5.12 带相关噪声多传感器系统加权观测融合Kalman滤波算法
5.12.1 集中式融合和加权观测融合Kalman滤波
5.12.2 加权观测融合Kalman滤波的全局最优性
5.12.3 集中式融合和加权观测融合稳态Kalman滤波
5.12.4 带公共干扰观测噪声系统加权观测融合器
5.13 加权观测融合Wiener反卷积滤波器
5.13.1 加权观测融合白噪声Wiener反卷积估值器
5.13.2 加权观测融合ARMA信号Wiener反卷积估值器
5.14 小结
参考文献
第6章 基于现代时间序列分析方法的最优信息融合滤波理论
6.1 引言
6.2 集中式融合稳态Kalman滤波器
6.3 基于ARMA新息模型的加权状态融合Kalman滤波
6.3.1 定常系统最优加权状态融合Kalman估值器
6.3.2 多模型多传感器最优加权状态融合Kalman估值器
6.3.3 带观测滞后系统加权融合稳态Kalman估值器
6.4 最优加权融合稳态白噪声反卷积估值器
6.5 带观测滞后的ARMA信号加权融合Wiener估值器
6.6 带观测滞后的加权融合Wiener状态估值器
6.7 加权观测融合稳态Kalman滤波与Wiener滤波
6.7.1 集中式融合稳态Kalman估值器
6.7.2 加权观测融合稳态Kalman滤波算法1
6.7.3 加权观测融合稳态Kalman滤波算法2
6.7.4 加权观测融合Wiener滤波算法
6.7.5 应用于跟踪系统
6.8 ARMA信号加权观测融合Wiener滤波器
6.8.1 带白色观测噪声的ARMA信号加权观测融合方法
6.8.2 带有色观测噪声的ARMA信号加权观测融合方法
6.8.3 ARMA信号反卷积加权观测融合方法
6.9 小结
参考文献
第7章 自校正信息融合滤波理论
7.1 引言
7.2 收敛性分析的DESA方法和DVESA方法
7.2.1 DESA方法
7.2.2 DVESA方法
7.3 多维和多重RLS算法、多维和多重RELS算法
7.3.1 多重RLS算法
7.3.2 多维RLS算法
7.3.3 多重RELS算法、多维RELS算法
7.4 多维和多重RIV算法
7.5 多维BCRLS算法
7.6 多传感器多通道ARMA模型信息融合多段辨识
7.6.1 第1段:AR参数融合估值器
7.6.2 第2段:噪声方差融合估值器
7.6.3 第3段:MA参数融合估值器
7.6.4 仿真例子
7.7 带传感器偏差的ARMA模型融合辨识
7.8 带有色观测噪声ARMA模型融合辨识
7.9 自校正Riccati方程的收敛性
7.10 自校正集中式融合信息滤波器
7.10.1 自校正集中式融合信息滤波器及其收敛性
7.10.2 基于随机过程理论定义按实现、按概率1收敛性和有界性
7.10.3 应用于信号处理
7.10.4 仿真例子
7.11 自校正分布式融合信息滤波器
7.12 带未知有色观测噪声的自校正融合Kalman滤波器
7.12.1 局部和融合的稳态Kalman预报器
7.12.2 未知模型参数和噪声方差估值
7.12.3 自校正解耦融合Kalman预报器
7.12.4 自校正局部和融合Kalman预报器的收敛性
7.12.5 仿真例子
7.13 自校正加权观测融合Kalman滤波器
7.13.1 自校正观测融合Kalman滤波器
7.13.2 自校正Kalman融合器的收敛性
7.13.3 仿真例子
7.14 自校正加权观测融合Kalman信号滤波器
7.14.1 最优加权观测融合Kalman信号滤波器
7.14.2 自校正加权观测融合Kalman信号滤波器
7.14.3 仿真例子
7.15 含未知参数的自校正解耦融合Kalman滤波器
7.15.1 最优和自校正解耦融合Kalman滤波器
7.15.2 自校正局部和融合Kalman滤波器的收敛性
7.15.3 应用于多传感器多维AR信号处理
7.15.4 仿真例子
7.16 带有色观测噪声的AR信号的自校正加权观测融合Kalman滤波器
7.16.1 最优加权观测融合Kalman滤波器
7.16.2 未知模型参数和噪声方差估计
7.16.3 自校正加权观测融合Kalman滤波器
7.16.4 仿真例子
7.17 多传感多通道ARMA信号自校正加权观测融合Wiener滤波器
7.17.1 最优加权观测融合Wiener滤波器
7.17.2 模型参数和噪声方差估值器
7.17.3 自校正加权观测融合Wiener滤波器及其收敛性
7.17.4 仿真例子
7.18 小结
参考文献
第8章 CI融合鲁棒Kalman滤波理论
8.1 引言
8.2 两传感器CI融合稳态Kalman滤波器与三种加权融合稳态Kalman滤波器的精度比较
8.2.1 局部稳态Kalman滤波器
8.2.2 集中式融合稳态Kalman滤波器
8.2.3 按矩阵加权融合稳态Kalman滤波器
8.2.4 按标量加权融合稳态Kalman滤波器
8.2.5 按对角阵加权融合稳态Kalman滤波器
8.2.6 CI融合稳态Kalman滤波器
8.2.7 局部和融合估值器的精度比较
8.2.8 仿真例子
8.3 多通道ARMA信号CI融合Wiener滤波器
8.3.1 多通道ARMA信号局部Wiener滤波器
8.3.2 按矩阵加权最优融合Wiener信号滤波器
8.3.3 CI融合Wiener信号滤波器
8.3.4 仿真例子
8.4 带观测滞后两传感器系统CI融合稳态Kalman估值器
8.4.1 局部稳态Kalman估值器
8.4.2 CI融合稳态Kalman估值器
8.4.3 仿真例子
8.5 带观测滞后的两传感器多通道ARMA信号CI融合Wiener滤波器
8.6 BCI鲁棒融合估计
8.6.1 鲁棒性精度概念
8.6.2 BCI融合估计的一致性
8.6.3 局部估计与BCI融合估计的鲁棒精度关系
8.7 BCI融合鲁棒Kalman滤波器
8.7.1 局部稳态Kalman滤波器
8.7.2 按矩阵加权最优融合稳态Kalman滤波器
8.7.3 多传感器BCI融合稳态Kalman滤波器
8.7.4 局部和融合稳态Kalman滤波器的精度比较
8.7.5 BCI融合鲁棒稳态Kalman滤波器
8.8 SCI融合鲁棒Kalman滤波器
8.8.1 SCI融合稳态Kalman滤波器
8.8.2 SCI融合器的一致性和精度分析
8.8.3 SCI融合器精度关于传感器次序的灵敏性
8.8.4 SCI融合鲁棒稳态Kalman滤波器
8.9 PCI融合Kalman滤波器
8.9.1 PCI融合Kalman滤波器
8.9.2 PCI融合器的一致性和精度分析
8.10 小结
参考文献
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| 內容試閱：
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第1 章 绪论
1.1 多传感器信息融合产生的背景
多传感器信息融合（Multisensor Information Fusion） ，也称多源信息融合（Multi-source Information Fusion）或多传感器数据融合（Multisensor Data Fu-sion） ，是20 世纪70 年代以来发展起来的一门多学科交叉的新兴边缘学科，目前已成为备受人们关注的热门领域［1-9 ］ 。它产生和发展的背景是军事领域的通讯、指挥、控制和智能系统（Commani cation ，Comman ，Controland Intelligent Systems ，C3 I）的需要，以及许多高技术领域（包括图象处理、机器人、遥感、故障诊断、交通管制、刑侦、GPS 定位、卫星测控制导、跟踪、导航等）的需要。20 世纪70 年代以来随着各种先进武器系统的出现，例如精确制导、远程打击、导弹拦截等武器的出现，迫切要求提高对运动目标（导弹、飞机、卫星、坦克、车辆、船舰等）的跟踪精度或对系统状态（包括目标定位、目标身份识别、战争态势和威胁评估等）估计的精度。为了提高跟踪或状态估计精度，传统的单传感器观测系统是无能为力的，因而出现了大量具有不同应用背景的多传感器系统。问题焦点在于：如何对来自每个传感器的信息按某种最优融合准则和最优融合方法进行优化组合和综合处理，得到系统状态的最佳融合估计，目的是使融合估计的精度高于基于每个单个传感器的估计精度。
早在20 世纪70 年代初，美国海军发现采用多个声呐传感器探测敌方潜艇位置时，对多个声呐信号进行融合处理后，能更准确地估计敌方潜艇的位置，其精度高于基于每个单个声呐传感器的定位精度。这一发现是多传感器信息融合这一新兴边缘学科产生的重要背景之一。这一发现对现代战争也产生深远影响。1985年美国国防部三军实验室理事联席会（JDL）在C3 I 系统中首次提出多传感器数据融合的定义［1 ］ ，并相继开发出一系列用于目标定位、跟踪、识别、态势和威胁评估的战略和战术C3 I 系统，并应用于海湾战事和科索沃战争。进一步美国在C3 系统中加入计算机，建立以信息融合为核心的C4 I 系统，并应用于伊拉克战争和阿富汗战争。
早在1988 年美国国防部就把信息融合技术列为20 世纪90 年代重点开发研究的20 项关键技术之一，且列为最优先发展的A 类。我国在这一领域的研究起步较晚，在20 世纪90 年代后才渐近形成研究热潮［3-6］ 。
1.2 信息融合概念和定义多传感器信息融合是信息科学与技术、计算机科学，人工智能、通信技术、军事科学、电子科学与技术、控制科学与技术，数学、管理科学等多学科交叉的一门新兴边缘学科。由于它涉及内容的广泛性和多样性，到目前为止信息融合还没有一个统一的和公认的定义。各学科领域的研究学者按自己的理解给出了不同的定义。
他们用不尽相同的术语来解读什么是多源信息？ 什么是融合？ 什么是融合的目的？ 目前为大多数研究学者所接受的信息融合的定义，是1985 年由美国国防部三军实验室理事联席会（JDL）提出的［7 ］ ：定义1.2.1 信息融合是对来自单一的和多源的数据和信息进行关联、相关和组合的处理过程，以获得准确的目标位置和身份估计，对态势、威胁及其重要性进行完整的、及时的评估。该过程的特点是连续进行估计和评估优化，并且对附加信息源的需求进行评估，且改进过程本身，以便获得更好的结果。
上述定义是JDL 关于信息融合最初的定义。该定义由于过于具体化有较大的局限性。JDL 目前关于信息融合修改的定义是如下［7 ］ ：定义1.2.2 信息融合或数据融合是数据或信息的组合过程，用于估计或预测实体状态。
我们看到，定义
1.2.2 较定义
1.2.1 做了大幅度的精炼和改进，使其更具有一般性。例如相关和关联处理不适用于所有融合问题。新定义中状态概念是广义的，更具有普遍性。目标位置和身份均可视为实体的状态，而态势和威胁也可视为战争系统的状态。具体修改说明还可进一步参见文献［6］ 。
Hall 和Llinas 的定义是如下［2］ ：定义
1.2.3 信息融合是组合来自多个传感器的数据和相关信息，以获得比单个独立传感器更详细而精确的推理。
这个定义的优点是突出了信息融合的目的：融合估计的精度高于基于单个传感器估计的精度。比较定义
1.2.3 与定义1.2.2 ，我们看到，定义1.2.2 缺点和不是之处为：没有进一步强调信息融合的目的不仅仅是估计或预测实体状态，而且要求估计的精度比基于单个传感器的估计精度高。而且没有强调信息组合过程是优化组合。因此定义1.2.2 的后半句话“用于估计或预测实体状态”可改进为“用于较高精度地估计和预测实体状态” 。前半句话中“组合过程”应改进为“优化组合过程” 。
总结上述三个定义，多传感器信息融合的定义有如下三个要素：
（1） 信息概念的内容是十分丰富的。不仅传感器的观测数据是信息，而且信息的内容还可扩大为知识、情报、经验、模式、图像、关系、规划等其他形式的信息。
（2） 信息融合的核心是对多源信息的组合，要采用优化的融合规则和融合方法来实现优化的信息组合，以达到信息融合目的。文献［9］给出如下定义：定义1.2.4 估计融合或关于估计的数据融合是如何最佳应用有用的多源数据信息以获得一个未知量――一个参数或过程状态的估计问题。
这个定义强调了最佳应用有用信息，即信息融合是一个优化的综合过程。
（3） 信息融合目的是在某种意义下获得系统状态的最佳融合估计，其精度高于基于单个传感器的估计精度。
当信息形式是观测数据时，多传感器信息融合也叫多传感器数据融合。当信息形式不是数据时，例如图像知识、模式等，称为多源信息融合。
综合上述关于信息融合的四个定义，根据信息融合三要素，我们认为信息融合的定义可改进为：定义
1.2.5 信息融合是对多源信息的一个优化组合过程，以获得系统状态的更精确的估计。
在这个改进的定义中不再具体区分数据或非数据形式的信息，而统一为多源信息。改进定义的前半句强调了定义
1.2.1 中对信息的优化组合处理，后半句强调了定义1.2.1 中信息融合目的是获得更好的状态估计精度。
当信息形式为数据时，多传感器数据融合可相应地定义为：定义
1.2.6 多传感器数据融合是对来自多传感器的数据的一个优化组合过程，以获得系统参数或状态的更精确的估计，其精度高于基于单个传感器的估计精度。
1.3 估计理论的方法论本书以数据为信息形式，多传感器信息融合估计为多传感器数据融合估计。
信息融合估计理论是传统的估计理论与多传感器信息融合相交叉、相互渗透的产物，是多源信息融合这一新兴边缘学科的一个重要分支。所谓方法论是指最重要、最普遍、最一般、最通用的方法。本书应用的估计理论（包括信息融合估计理论）方法论有Kalman 滤波方法［10］ 、现代时间序列分析方法［11-13 ］ 、Wiener 滤波方法［14-17 ］和系统辨识方法［18-20 ］ 。
1.3.1 Kalman 滤波方法20 世纪40 年代由控制论创始人N ．Wiener［14 ］ 用频域方法（谱分解）提出了Wiener 滤波方法，解决如何从被噪声污染的观测信号中过滤噪声，求在线性最小方差意义下未知真实信号的最优估值器（滤波器） 。其缺点和局限性是要求信号是平稳随机过程，滤波器是非递推的，要求存贮全部历史数据，计算量和存贮量大，不便于工程应用随着电子计算机、军事和空间技术的发展，迫切要求滤波算法是递推的，便于实时计算，且要求滤波方法可处理多变量非平稳随机过程或时变系统的滤波问题。在这种应用背景下，R ．E ．Kalman［10 ］ 在20 世纪60 年代初提出了Kalman滤波方法。它是一种时域方法，它基于状态空间模型和射影理论解决最优滤波问题。它的基本工具是Riccati 方程。它的优点是最优滤波算法是递推的，便于在计算机上实验和实时应用，可处理时变系统、非平衡随机信号、多维信号的滤波问题，克服了Wiener 滤波方法的缺点。但其缺点是要求精确已知系统模型参数和噪声统计。由于Kalman 滤玻具有上述优点，Kalman 滤波方法提出后，立即被应用到工程领域。美国太空署阿波罗登目计划中导航系统中，导航问题主要归结为解决太空船运动状态估计问题。Kalman 滤波算法被成功用于解决这个问题。C ― 5A飞机导航系统设计是Kalman 滤波早期应用中的另一个成功实例。目前它已广泛应用于许多高技术领域，包括目标跟踪、制导、GPS 定位、通信与信号处理、故障诊断、机器人、多传感器信息融合等。
Kalman 滤波方法关键技术之一是状态空间方法。状态空间方法包括系统的状态变量概念和状态空间模型。状态变量是比信号更广泛、更一般的概念。根据具体情况，信号可看成系统的状态或状态的某个或某些分量。例如对一个目标跟踪系统，可将运动目标的位置、速度和加速度视为跟踪系统的状态变量，而人们最感兴趣的位置信号只是状态变量的一个分量。状态空间模型包括状态方程（状态模型）和观测方程（观测模型） 。用状态方程描写状态随时间变化的规律，用观测方程表示对状态变量进行观测的观测模型（传感器观测模型） 。在观测方程中通常含有随机观测噪声（传感器观测噪声） 。在状态方程中通常也含有输入噪声，称这类系统为随机系统。
状态空间模型和Kalman 滤波问题可用如下简单的雷达跟踪系统来说明。
例1.3.1 雷达目标跟踪系统状态空间模型和Kalman 滤波问题。
一个运动目标（飞机、导弹、坦克、车辆等）沿直线做变速运动。由运动定律有运动模型和观测模型s（t + 1） ＝ s（t） + 痹s（t）T0 +T202¨s（t）
（1.3.1）痹s（t + 1） ＝ 痹s（t） + ¨s（t）T0 （1.3.2）¨s（t + 1） ＝ ρ¨s（t） + w（t） （1.3.3）y（t） ＝ s（t） + v（t） （1.3.4）其中T0 为采样周期，t 为离散时间，s（t） ，痹s（t）和¨s（t）各为在采样时刻tT0 处运动目标的位置、速度和加速度。y（t）为雷达对位置的观测信号，v（t）为观测噪声。假设加速度¨s（t）服从一阶自回归模型（1.3.3） ，其中ρ为模型参数。w（t）和v（t）是零均值、方差各为σ2w 和σ2v 的互不相关白噪声，即E［w（t）w（j）］ ＝ σ2w δtj ， E［v（t）v（j）］ ＝ σ2vδtj ，E［w（t）v（j）］ ＝ 0 ， 橙t ，j （1.3.5）其中E 为均值号（数学期望） ，δtt ＝ 1 ，δtj ＝ 0 （t ≠ j ） 。（1.3.1） - （1.3.3 ）为运动模型，（1.3.4）为观测模型。引入状态变量x（t）为如下3 × 1 列向量x（t） ＝ ［s（t） ，痹s（t） ，¨s（t）］T （1.3.6）其中符号T 表示转置，则由（1.3.1） - （1.3.4）有状态方程和观测方程为s（t + 1）痹s（t + 1）¨s（t + 1）＝1 T0 0.5 T200 1 T00 0 ρs（t）痹s（t）¨s（t）+001w（t） （1.3.7）y（t） ＝ ［1 0 0］x（t） + v（t） （1.3.8）其中（1.3.7）为状态方程，（1.3.8）为观测方程。于是状态空间模型可表为x（t + 1） ＝ Φx（t） + Γw（t） （1.3.9）y（t） ＝ Hx（t） + v（t） （1.3.10）Φ ＝1 T0 0.5 T200 1 T00 0 ρ， Γ ＝001， H ＝ ［1 0 0］ （1.3.11）其中Φ 叫状态转移阵，H 叫观测阵。状态方程（1.3.9）描写了状态变量x（t）随时间的变化规律，观测方程（1.3.10）描写了对状态x（t）的观测信息。通常不是状态的所有分量均被观测，例如对本例只状态的第一个分量位置s （ t）被观测，即（1.3.10）就是（1.3.4） 。
Kalman 滤波问题是：基于状态空间模型（1.3.9）和（1.3.10） ，基于到时刻t 为止的观测数据（y（t） ，y（t - 1） ，? ，y（1））求运动目标的状态x（t）的线性最小方差最优滤波估值＾x（t｜t） 。即求其位置、速度和加速度在时刻t 的估值。这可用第3 章的递推Kalman 滤波算法解决：＾x（t｜t） ＝ ＾x（t｜t - 1） + K（t）ε（t） （1.3.12）＾x（t｜t - 1） ＝ Φ＾x（t - 1 ｜t - 1） （1.3.13）ε（t） ＝ y（t） - H＾x（t｜t - 1） （1.3.14）K（t） ＝ Σ（t｜t - 1）HT ［HΣ（t｜t - 1） HT + σ2v］- 1 （1.3.15）P（t｜t） ＝ ［In - K（t）H］Σ（t｜t - 1） （1.3.16）其中＾x（t｜t - 1）是基于（y（t - 1） ，? ，y（1）对状态x（t）的一步观报估值，P（t｜t）和Σ（t｜t - 1）分别为滤波和预报估值误差方差阵，ε（t）是新息，K（t）是Kalman 滤波器增益阵。Σ（t｜t - 1）由如下Riccati 方程递推计算：Σ（t + 1 ｜t） ＝ Φ［Σ（t｜t - 1） - Σ（t｜t - 1）HT （HΣ （t｜t - 1）HT + σ2v ）- 1 HΣ（t｜t - 1）］ ΦT + σ2w ΓΓT （1.3.17）带初值＾x（1 ｜0） ＝ μ0 ，Σ（1 ｜0） ＝ Σ0 。
上述递推Kalman 滤波算法适合计算机实时计算，因为它仅需存贮前一时刻估值及其误差方差阵，就可递推计算下一时刻估算。不需要像Wiener 滤波要求存贮全部历史数据。
Kalman 滤波算法的基本工具是Riccati 方程。
状态空间模型（1.3.9）和（1.3.10）的形式具有一般性。许多应用问题均可用这种形式的状态空间模型描写。在一般情形下，状态x（t）是n × 1 列向量，Φ 是n × n矩阵，Γ 是n × r 矩阵，y（t）是m × 1 列向量，v（t）是m × 1 列向量，w（t）是r × 1列向量，H 是m × n 矩阵。Kalman 滤波的出发点就是状态空间模型（1.3.9 ）和（1.3.10） 。
1.3.2 现代时间序列分析方法现代时间序列分析方法［11 ］是20 世纪80 年代末被提出的，迄今已发展成为解决最优和自校正滤波问题的重要的方法论［12 ，13 ，19］ 。它是经典时间序列分析［18 ］ 与经典Kalman 滤波相互渗透、相互交叉的产物。自回归滑动平均（AutoregressiveMoving Average ，ARMA）模型是时间序列分析的基本模型，状态空间模型是Kal-man 滤波的基本模型。现代时间序列分析方法的基本工具是观测过程的ARMA新息模型。ARMA 新息模型建立了观测过程和新息过程之间的关系，揭示了系统观测、新息、输入白噪声和观测白噪声之间的数量关系。ARMA 新息模型提供了最优估计（最优滤波）所需的全部统计信息。新息过程是白噪声，它与观测过程含有相同的统计信息。现代时间序列分析方法的理论基础是白噪声估值器和观测预报器［19 ］ 。可通过求输入和观测白噪声估值器及观测预报来求状态估值器。现代时间序列分析方法通过ARMA 新息模型求稳态Kalman 滤波器增益阵，完全不同于Kalman 滤波方法通过Riccati 方程求稳定KalmanI 滤波器增益阵。现代时间分析方法的优点是：当系统含有未知模型参数和或噪声方差时，可通过在线辨沿ARMA 新息模型来设计自校正Kalman 滤波器［13 ，19 ］ 。它的局限性是：它仅适用于处理线性离散定常随机系统的稳态Kalman 滤波问题。而Kalman 滤波方法可用于设计时变系统最优时变Kalman 滤波器。但Kalman 滤波方法的缺点是要求系统模型参数和噪声方差是精确已知的。
为了说明现代时间序列分析方法原理，我们进一步研究例1.3.1 的目标跟踪系统。
例1.3.2 继续例1.3.1 。
列入单位滞后算子q- 1 ，q- 1 θ（t） ＝ θ（t - 1） ，则（1.3.1 ） - （1.3.3）有传递函数模型（1 - q- 1 ）s（t） ＝ 痹s（t - 1）T0 + 0.5 T20¨s（t - 1） （1.3.18）
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