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| 編輯推薦： |
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《离散数学》拥有多年教学经验的高校教授编写；内容知识前沿，实验规范，案例丰富，解析深刻，可以帮助学生进行有效学习。
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| 內容簡介： |
《离散数学》根据作者多年从事离散数学教学和实践经验编写而成，系统地阐述了离散数学的经典内容，从离散结构的形式化表示，到各类离散结构及其数学模型的描述出发，讲解有关集合、数理逻辑、图论以及代数系统的基本概念、定理、证明方法以及相关算法，逐步建立离散化、公理化和系统化的计算机专业意识，并通过紧密联系计算机学科的的应用实例，展示离散数学理论在软件工程和计算机科学与技术中的基础作用和强大应用，特别强调计算思维和理论应用能力的培养。全书共11章，包括集合、关系、函数、命题逻辑、谓词逻辑、图和树，以及代数系统等内容。
本书逻辑结构严谨，内容联系紧密，逻辑清晰，通俗易懂，与软件工程和计算机科学与技术的理论和实践密切结合，便于自学。
本书可作为高等院校软件工程、计算机科学与技术及相关专业，特别是人工智能和大数据为核心的新工科专业的离散数学课程教材，也可供从事相关专业的学生和科技人员参考。
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| 關於作者： |
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宋弢，中国石油大学（华东）教授/博士生导师，国家级人才项目青年专家，山东省泰山学者，山东省青年五四奖章获得者，山东省青年创新团队负责人，爱思维尔中国高被引专家，入选全球前2%顶尖科学家年度影响力榜单。
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| 目錄：
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第1章 集 合 1
1.1 集合的概念及表示 2
1.1.1 集合的表示 2
1.1.2 集合与集合的关系 3
1.1.3 几个特殊集合 4
1.2 集合的运算 4
1.3 有限集与无限集 5
1.3.1 有限集 5
1.3.2 无限集 6
1.4 与集合相关的应用 7
1.4.1 集合的计算机表示 7
1.4.2 计数问题 8
1.5 本章练习 8
第2章 二元关系 11
2.1 二元关系及其表示 12
2.1.1 序偶和笛卡儿积 12
2.1.2 关系的定义 14
2.1.3 关系的表示法 15
2.2 关系的运算 19
2.2.1 关系的复合运算 20
2.2.2 关系的逆运算 21
2.2.3 关系的幂运算 23
2.3 关系的性质 24
2.3.1 关系性质的定义 24
离散数学
2.3.2 关系性质的判定定理 28
2.3.3 关系性质的保守性 30
2.4 关系的闭包 31
2.4.1 闭包的概念 31
2.4.2 关系矩阵角度的闭包应用 33
2.5 关系运算的应用 34
2.5.1 关系的应用 34
2.5.2 二元关系及表示的应用 36
2.5.3 关系运算的具体应用 38
2.6 等价关系 39
2.6.1 等价关系的基础 39
2.6.2 集合的划分 41
2.6.3 等价关系与划分 42
2.7 偏序关系 43
2.8 本章练习 47
第3章 函 数 49
3.1 函数的概念 50
3.1.1 函数的定义 50
3.1.2 函数的类型 51
3.2 特殊函数 52
3.3 函数的运算 53
3.3.1 函数的复合运算 53
3.3.2 函数的逆运算 55
3.3.3 关系的幂运算 56
3.4 本章练习 57
第4章 命题逻辑 59
4.1 命题符号化及联结词 60
4.2 命题公式及分类 65
4.3 等值演算 69
目录
4.4 范式 74
4.5 联结词全功能集 82
4.6 推理理论 83
4.7 典型应用 89
4.8 本章练习 91
第5章 谓词逻辑 94
5.1 谓词逻辑基本概念 95
5.1.1 个体词和谓词 95
5.1.2 量词 97
5.1.3 函 词 100
5.2 谓词逻辑公式及解释 101
5.2.1 谓词逻辑公式 101
5.2.2 解释 105
5.3 谓词逻辑等值式与前束范式 107
5.3.1 谓词逻辑等值式 107
5.3.2 前束范式 110
5.4 谓词逻辑推理 111
5.4.1 谓词逻辑推理的基本概念 111
5.4.2 谓词逻辑的推理规则 112
5.5 典型应用 115
5.6 本章练习 117
第6章 图论基础 119
6.1 图的基本概念 121
6.1.1 图的定义 122
6.1.2 图的表示 123
6.1.3 图的分类 124
6.1.4 图的操作 127
6.1.5 图的同构 128
6.1.6 图的基本定理 132
离散数学
6.1.7 图的应用 135
6.2 路与回路 136
6.2.1 通路与回路 137
6.2.2 无向图的连通性 139
6.2.3 有向图的连通性 142
6.2.4 知识点小结 144
6.3 图的表示 144
6.4 典型应用 148
6.5 本章练习 150
第 7 章 特 殊 图 153
7.1 欧拉图 154
7.1.1 欧拉图的定义 154
7.1.2 欧拉图的判定 154
7.1.3 欧拉回路求取算法： Fleury 算法 156
7.2 哈密顿图 157
7.2.1 哈密顿图的定义 157
7.2.2 哈密顿图的判定 158
7.3 二部图 160
7.3.1 二部图的定义 160
7.3.2 二部图的判定 161
7.4 平面图 162
7.4.1 平面图的定义 162
7.4.2 平面图的判定 164
7.5 特殊图的应用 166
7.5.1 欧拉图的应用 166
7.5.2 哈密顿图的应用 168
7.5.3 二部图的应用 169
7.5.4 平面图的应用 170
7.6 本章练习 171
目录
第 8 章 树与根树 174
8.1 树的定义及性质 175
8.1.1 基本概念 175
8.1.2 无向树的性质 175
8.2 生成树 177
8.2.1 定义 177
8.2.2 最小生成树 178
8.3 根树 181
8.3.1 根树的定义 181
8.3.2 根树的分类 183
8.4 二叉树 183
8.4.1 二叉树的基本类型 184
8.4.2 二叉树的特殊类型 184
8.4.3 二叉树的性质及证明 184
8.4.4 前序、中序和后序遍历 185
8.4.5 最优二叉树和哈夫曼编码 187
8.5 典型应用 189
8.5.1 无向树的应用：煤气管道铺设设计问题 189
8.5.2 根树的应用：博弈树 189
8.6 本章练习 191
第 9 章 Petri网 193
9.1 网与子网 194
9.1.1 网的定义 194
9.1.2 前集和后集 195
9.1.3 网的分类 195
9.1.4 子网的定义 197
9.2 标识网与网系统 198
9.2.1 标识网 198
9.2.2 网系统 198
9.3 库所/变迁系统与加权 Petri网 200
离散数学
9.3.1 库所/变迁系统 201
9.3.2 加权Petri网 202
9.4 典型应用 203
9.5 本章练习 205
第 1 0 章 代数系统 207
10.1 代数系统的基本概念 208
10.1.1 代数运算的概念 208
10.1.2 代数系统的概念 211
10.1.3 子代数 211
10.1.4 商代数 212
10.2 代数运算的性质 213
10.2.1 二元运算的运算性质 213
10.2.2 二元运算的特殊元素 215
10.3 代数系统间的关系 217
10.3.1 同态与同构的概念及性质 217
10.3.2 同余 219
10.4 典型应用 220
10.4.1 逻辑电路 220
10.4.2 关系代数 221
10.5 本章练习 224
第 1 1 章 典型代数系统 227
11.1 半群和群 228
11.1.1 半群及其性质 228
11.1.2 群及其性质 230
11.1.3 子群及其性质 234
11.1.4 特殊群 237
11.1.5 例题 239
11.2 环与域、陪集与拉格朗日定理 240
11.2.1 环 240
目录
11.2.2 域 242
11.2.3 陪集 244
11.2.4 拉格朗日定理 245
11.3 格和布尔代数 249
11.3.1 格 249
11.3.2 特殊格 254
11.3.3 布尔代数 259
11.4 典型应用 261
11.5 本章练习 264
参考文献 266
附录 习题参考答案 268
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| 內容試閱：
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随着计算机技术的飞速发展，对学生计算思维的培养已成为大学计算机专业课程的重 要目标之一。计算思维是数学思维与工程思维的结合。离散数学是研究离散量的结构及其 关系的基础，其研究对象与计算机所处理的离散对象 一 致，是计算机理解数学的重要方 式。离散数学在计算机科学中有着广泛的应用，是计算机科学领域的建模及分析工具。
本书根据新工科建设、卓越工程师计划、《IEEE-CS/ACM Computing Curricula 2020》 《培养计算机类专业学生解决复杂工程问题的能力》，结合课程组老师多年离散数学教学经 验编写而成。新工科背景下计算机学科的离散数学教材，应更注重离散数学在解决复杂工 程问题时的能力，建立复杂问题的离散模型是利用计算机求解问题的第一步。因此，本书 的核心目标是培养学生条理性、系统性地分析和描述复杂问题，建立离散模型，并运用离 散数学知识对问题进行求解的能力。在此过程中，培养学生的计算思维能力、抽象思维能 力以及严谨的逻辑推理能力，使学生能够将计算机作为认知工具，按计算机的方式求解问 题；同时展示离散数学的重要性和实用性，了解计算机相关学科中数学理论的典型应用，
体会数学理论对求解实际问题的意义。
在该课程目标的指导下，我们将离散数学所涉及的集合、逻辑、图论和代数等内容按 模块化进行组织，通过章前思维导图，串联知识脉络，明晰章节重难点；从实际问题出 发，引出离散结构的基本概念和形式化定义；对离散结构的性质定理在解释证明思路的基 础上，给出规范化的证明过程；典型应用展示了离散数学在计算机各研究领域中解决实际 问题的应用价值。全书共分11章，主要内容为集合、二元关系、函数、命题逻辑、谓词 逻辑、图论基础、特殊图、树与根数、 Petri 网、代数系统及典型代数系统。本书以集合、 关系和函数为主线，内容联系紧密，逻辑性强。每章内容提供了精选的习题，书后提供了 部分习题答案。本书各章之间的联系如图1所示。使用本书的授课教师可按模块化结构组 织教学，根据学校关于本课程的学时安排以及学生的情况，对部分章节的内容进行灵活取 舍。本书给出针对理论内容教学的学时建议如表1所示，此外学校还可以根据课程安排开 展相应的实验教学。
图1 本书各章之间的联系
离散数学
表1 学时建议表
章节 32学时 48学时 66学时 80学时
第1章集合 2 2 2 2
第2章二元关系 10 10 10 10
第3章函数 6 6 6 6
第4章命题逻辑 自学 8 8 10
第5章谓词逻辑 自学 8 8 10
第6章图论基础 6 6 8 8
第7章特殊图 8 6 8 8
第8章树与根数 自学 2 6 8
第9章Petri网 自学 自学 自学 4
第10章代数系统 自学 自学 4 4
第11章典型代数系统 自学 自学 6 10
本书由宋弢、张红霞、李华昱、齐连永、岳昊共同编写而成。在教材编写过程中，研究 生仲艺伟，高宁，潘文玥，许亚坤，吴应涛，陈俊杰，李昕达等在资料搜集、整理和文字公 式录入、内容梳理和校对等方面付出了艰辛的劳动。编写过程中还参考了大量国内外同类教 材，得到了中国石油大学(华东)及学校领导和老师们的支持，在此表示衷心的感谢。还要 特别感谢清华大学出版社的邓艳老师在书稿整理、全书校对等工作中所付出的辛勤劳动。
限于作者水平有限，书中难免存在不当和疏漏之处，敬请读者不吝指正。
编者
2024年5月于中国石油大学(华东)
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