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| 內容簡介： |
本书由美国普渡大学知名教授詹姆斯·朗古斯基博士及其他两位学者共同撰写，属于施普林格出版社空间技术丛书。作者基于数十年的教学经验，充分考虑了读者的需求，在书中详细推导了拉格朗日行星方程和更一般的高斯变分方程，填补了相关文献的空白。同时，作者对一般摄动的解析解进行了深入剖析，并将其应用于地月系统、扁行星影响、广义相对论对水星轨道的摄动以及大气阻力引起的摄动等多个实际问题。此外，书中还介绍了平均法和小参数的林德斯泰特-庞加莱方法等实用技术，为读者提供了解决复杂轨道摄动问题的有力工具。
本书对轨道摄动领域的介绍内容广泛、详细又通俗易懂。可作为高等院校相关专业的教材或参考书，也可供相关技术人员参考。
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| 目錄：
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第1章 n 体问题 1
1.1 质点系统 1
1.2 相对运动方程 4
1.3 十个已知积分 5
1.3.1 新积分问题 8
1.4 n 体问题的相对运动方程 9
1.5 扰动函数 10
参考文献 13
第2章 二体问题 14
2.1 两个质点的特例 14
2.1.1 角动量:前三个积分常数 14
2.1.2 轨道平面的空间方位 14
2.1.3 开普勒面积定律 16
2.1.4 其余的积分常数 17
2.1.5 椭圆轨道 19
2.1.6 能量守恒 21
2.1.7 轨道位置随时间的变化 24
2.2 二体问题的总结 28
参考文献 30
第3章 一般摄动 31
3.1 一般摄动与特殊摄动 31
3.2 一般摄动 (摄动理论) 31
3.3 常数变易法 31
3.4 例子:受第三体扰动的二体运动 32
3.4.1 简单的量级计算 33
3.4.2 简化方法说明 34
3.5 摄动方程的一般讨论 35
3.6 拉格朗日括号 36
目 录
· ·
3.6.1 示例 37
3.6.2 拉格朗日括号的性质 40
3.6.3 时间无关性 (可从标量势函数导出的力) 41
参考文献 43
第4章 拉格朗日括号的计算 44
4.1 近焦点坐标系 PQW 44
4.1.1 因变量和自变量 45
4.2 拉格朗日括号 [αr，αs]的计算 46
4.2.1 [n，e]的计算 52
4.2.2 [n，M0]的计算 53
4.2.3 [e，M0]的计算 53
4.3 拉格朗日括号 [βr，βs]的计算 54
4.3.1 [Ω，i]的计算 57
4.3.2 [Ω，ω]的计算 58
4.3.3 [i，ω]的计算 60
4.4 拉格朗日括号 [αr，βs]的计算 61
4.4.1 [n，Ω]的计算 66
4.4.2 [e，Ω]的计算 68
4.4.3 [M0，Ω]的计算 69
4.4.4 [n，ω]的计算 70
4.4.5 [e，ω]的计算 71
4.4.6 [M0，ω]的计算 71
4.4.7 [n，i]，[e，i]，[M0，i]的计算 72
4.5 非零拉格朗日括号 72
4.6 为零的拉格朗日括号 73
参考文献 74
第5章 一般摄动力的拉格朗日行星方程 75
5.1 拉格朗日行星方程的推导 75
5.1.1 轨道根数时间导数的求解 77
5.1.2 拉格朗日行星方程与平近点角 79
5.2 扰动函数 80
5.2.1 力系 (导出高斯形式) 80
5.2.2 力系情况Ⅰ:径向 横向 正交 (RSW) 81
5.2.3 αj 元素的摄动公式 81
5.2.4 平均运动的摄动公式 82
5.2.5 偏心率的摄动公式 83
轨道摄动导论
·ⅩⅦ·
5.2.6 平近点角的摄动公式 83
5.2.7 βj 元素的摄动公式 84
5.2.8 Ω 的摄动公式 85
5.2.9 ω 的摄动公式 86
5.2.10 i的摄动公式 87
5.2.11 径向 横向 正交力的拉格朗日行星方程 88
5.2.12 轨道根数时间导数的求解 89
5.3 力系情况Ⅱ:法向 切向 正交 (NTW) 91
参考文献 94
第6章 摄动函数的展开 95
6.1 第一类勒让德多项式 98
6.1.1 因子 (r/r‘)2 99
6.1.2 因子P2(cos ) 102
6.1.3 (r/r’)2P2(cos )项 103
6.2 摄动函数的形式 104
6.3 短周期和长周期不等式 106
6.4 稳定性 107
参考文献 108
第7章 引力势 109
7.1 引力势的描述 109
7.2 带谐函数 112
7.3 引力势的另一种描述 119
7.4 以开普勒根数表示的引力势 121
参考文献 132
第8章 广义平均法及其应用 133
8.1 平均化的概念 133
8.2 广义平均法 139
8.3 卫星绕扁行星的运动 141
8.4 地球扁率对轨道的影响 163
参考文献 166
第9章 非线性振荡的周期解 167
9.1 长期项 167
9.2 何时不应出现长期项 167
9.2.1 有缺陷的方法示例:单摆问题 167
9.3 周期解的林德斯泰特 庞加莱法 170
目 录
·ⅩⅧ·
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| 內容試閱：
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在开普勒轨道力学的第一门课程后，学生或工程师很快就会接触轨道摄动领域和拉格
朗日行星方程。在现代教科书中，这些随时间变化的轨道根数方程经常未经证明而直接给
出，并宣称其推导过程在别处提供———通常是在绝版资料中。为了使拉格朗日方程更加神
秘，或许是为了让学生气馁，学生被告知行星方程是在 “付出一些努力”之后得到的。事
实证明这是一种轻描淡写的说法。
那么，学生该如何继续学习呢? 在我攻读研究生期间，一位敬爱的教授说: “你不能
使用一个你从未推导过的方程 (一生中至少应推导过一次)。”(我相信他排除了F = ma)
在我的博士论文中，我进一步推导了轨道衰减的解析理论 (由于大气阻力的摄动效应)，
其中大量使用了拉格朗日行星方程。但我并没有推导该行星方程!
直到我教授了一门关于一般轨道摄动的研究生课程后，我才承担起我的教授认为是
“必要的”任务。
你正在阅读的这本书提供了拉格朗日行星方程和与之密切相关的更一般的高斯变分方
程的推导细节———这些细节在当前的出版物中是无法找到的。这部著作填补了文献中的空
白。紧随 Fitzpatrick和 McCuskey (以及参考书目中列出的其他作者)的工作，我们将逐
步解决这个庞大的问题———每一步都是基本而严谨的。我们鼓励读者验证这些简单的步
骤，以确保能够理解 (详细程度由读者自行把握)。
在本书中，我们将精力集中在分析工作上，其中可以为偏离开普勒轨迹的轨道找到闭
式 (通常是近似的)解。该方法被称为 “常数变易法”，最早由欧拉提出。根据这一概念，
拉格朗日提出了他著名的行星方程。继拉格朗日之后高斯提出了更一般的变分方程。
我们正在讨论的领域被称为 “一般摄动”，而不是 “特殊摄动”。根据 Vallado的说
法，一般摄动允许分析人员用一种近似方法取代精确的运动方程，该方法可以捕捉原始问
题的基本行为，同时还允许进行解析积分。通常，该方法涉及摄动加速度的级数展开。其
结果是产生了一个略微退化的解，揭示了 “密切轨道”的特征，它比通过原始方程的精确
数值积分找到的精确解更快 (但不那么精确)。当然，数值解并不能深入揭示摄动轨道的
整体行为。
在航天动力学、天文学、动力学、物理学、行星科学、航天器任务和其他许多领域
前 言
·Ⅳ·
中，解析解的重要性怎么强调都不过分。然而，由于普遍使用计算机对控制方程进行高精
度的数值积分，工程师们出现了一种 “将方程扔到计算机上求解”的趋势。
这种态度忽视了解析解的力量和价值。解析解法允许分析人员得到驱动所研究系统运
动的确定项。这种解法有助于验证数值计算的结果，使工程师相信自己的分析是正确的。
通过解析理论获得的典型见解是识别系统的行为何时具有长期项 (随着时间推移而使
解趋于无穷)，或解是否受周期或半周期行为的约束。解析解可用于研究因系统参数数值
变化而导致的行为变化的影响。
例如，我们有一个航天器在未来某给定时刻状态的解析解。在这种情况下，我们可以
编写一个子程序，给出该给定时刻的闭式解。接下来，假设航天器的质量发生轻微变化，
那么只需调用一次子程序，解析解就能立即提供最终状态。另一方面，如果我们没有解析
解，那么我们必须用新的质量对运动微分方程进行数值积分，并将解递推到给定时刻。
我们刚才描述的内容突出了 “一般摄动”和 “特殊摄动”之间的区别。一般摄动方法
对所有可能的初始条件和参数变化都给出解 (前提是摄动解没有出现太大的偏离)。特殊
摄动 (其实并不特殊)一次只能给出一个数值生成的解，因此对于所有新的参数值和初始
条件，我们必须从头开始重新创建解。
推导出变分方程后，我们将其应用于许多有趣的问题，包括地月系统、扁行星影响、
广义相对论对水星轨道的摄动以及大气阻力引起的摄动。在这些应用中，我们介绍了一些
有用的技术，如平均法和小参数的林德斯泰特 庞加莱方法。
最后，我们希望鼓励学生、从业工程师和相关领域的人员，在工作中注意寻找解析解
的潜力。
他们正是应该阅读这本书的人。
詹姆斯·朗古斯基
美国印第安纳州西拉斐特市
2021年7月
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