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| 內容簡介： |
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本书首先通过正则化技术建立矩阵回归模型， 然后研究模型的统计性质并设计模型的快速求解算法， 最后利用这些模型对模拟数据和真实数据进行了分析. 本书可作为统计学研究生统计优化方向的教材，也可作为稳健矩阵回归方向科研人员的参考书．
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| 內容試閱：
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前 言
随着大数据时代的到来， 人们面临的数据越来越复杂. 矩阵形式的数据普遍存在于科学研究和实际应用领域中， 如基因表达分析、脑神经网络、金融、经济、机器学习与人工智能、医学影像疾病诊疗、风险管理等. 目前对于这些数据的处理， 大多基于同方差假设并利用最小二乘模型进行统计分析. 事实上， 很多数据不是同方差的. 此时最小二乘模型不能很好地解释这些数据. 在这种情况下， 很自然地要考虑稳健方法， 如分位数回归. 但是在实际问题中， 我们不清楚数据是否重尾或含有离群点. 这时， 考虑使用Huber函数作为损失函数是一个很好的选择. Huber函数是二次函数和绝对值函数的组合，是绝对值函数的光滑化函数. 从优化角度看， 光滑化更有利于优化算法的设计. 此外， 数据还存在结构特征， 如元素稀疏、预测变量稀疏、预测矩阵低秩、多重共线性等. 针对这些问题， 本书首先通过正则化技术建立矩阵回归模型， 然后研究模型的统计性质并设计模型的快速求解算法， 最后利用这些模型对模拟数据和真实数据进行了分析. 本书可作为统计学研究生统计优化方向的教材，也可作为稳健矩阵回归方向科研人员的参考书．
本书反映了作者及其团队多年来在稳健矩阵回归方面的研究积累， 主要内容如下:
(1) 对于存在多重共线性且低秩的正态矩阵数据， 本书建立了弹性网正则化最小二乘矩阵回归模型. 对于此模型， 首先从理论上研究了其可以处理预测变量间的共线性， 并给出了估计误差的上界. 其次， 设计了变形Nesterovs光滑方法来求解此模型， 并给出了此算法的收敛性、迭代复杂度. 最后进行了一些数值实验来检验模型的理论性质和算法的有效性.
(2) 对于低秩的重尾矩阵数据， 本书建立了核范数正则化Huber矩阵回归模型. 首先， 借助于核范数的可分解性、Huber损失函数的局部限制强凸性和近似低秩性等概念， 给出了模型估计的风险上界. 然后设计了迭代复杂度为 的加速邻近梯度算法mAPG来估计模型的系数矩阵. 最后， 本书使用此模型对模拟数据和Norwegian纸张质量数据进行分析. 实验结果表明， 核范数正则化Huber 矩阵回归模型具有较好的实验效果.
(3) 对于存在多重共线性且低秩的重尾矩阵数据， 本书建立了低秩弹性网正则化Huber矩阵回归模型， 并从理论上证明了此模型的组性质. 在关于噪声和设计矩阵的一些条件下， 建立了其解的风险上界. 在第3章提出的mAPG算法的基础上， 考虑了连续技术和截断技术来进一步加速mAPG算法. 模拟数据实验和拟南芥数据分析结果表明， 低秩弹性网正则化Huber矩阵回归模型能很好地处理重尾数据中的共线性问题.
(4) 对于存在多重共线性且预测变量稀疏的重尾矩阵数据， 本书建立了行弹性网正则化Huber矩阵回归模型， 并在理论上证明了其组性质. 在一些假设条件下， 建立了其风险上界. 此外， 设计了迭代复杂度为 的加速邻近次梯度算法来求解此模型. 模拟实验和聚乙烯数据集分析结果表明， 行弹性网正则化Huber矩阵回归模型不仅能很好地处理重尾数据中的共线性问题， 还可以选择出重要的预测变量.
总之， 针对具有不同结构特征的矩阵回归问题， 本书提出了正则化矩阵回归模型， 研究了模型的统计性质， 设计了有效的优化算法并给出了收敛性分析， 通过数值实验验证了模型的有效性和理论性质.
本书由孔令臣总体策划， 陈丙振主要编写和统一定稿， 曲文涛博士做了大量的录入和校对工作.本书出版得到了北京交通大学教材出版基金和国家自然科学基金(项目编号: 12071022) 的资助．
由于作者水平有限， 书中难免存在不足之处， 恳请读者批评指正！
著 者
2022年11月
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