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| 內容簡介： |
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本书是“数学分析”课程教材，是为数学类和对数学有较高要求的理工科专业编写的.全书分上、下两册.本书是下册，内容包括函数项级数与Fourier级数、向量代数与解析几何初步、多元函数的极限和连续性、多元函数微分学、重积分、曲线与曲面积分、微分方程初步.编者根据北京理工大学大类培养多年的教学实践经验，对数学分析的内容体系给出了新颖的构架，突出了分析学的严谨性、统一性，强化数学基础，同时重视数学分析与不同数学分支和其他学科领域间的交叉融合.本书适合作为各类高等院校数学类和对数学有较高要求的理工科专业的教材，也可作为高等数学教育的参考教材和自学用书.
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| 目錄：
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目录前言第7章函数项级数与Fourier级数17.1函数列的一致收敛性17.1.1一致收敛的定义17.1.2一致收敛的判别37.1.3一致收敛的性质5习题7.177.2函数项级数的一致收敛性87.2.1一致收敛的定义87.2.2一致收敛的判别107.2.3一致收敛的性质13习题7.2157.3幂级数157.3.1幂级数的收敛半径与收敛域167.3.2幂级数的和函数19习题7.3227.4Taylor级数237.4.1Taylor级数的概念237.4.2初等函数的Taylor展式25习题7.4287.5Fourier级数287.5.1基本三角函数系297.5.2周期为2π的Fourier级数297.5.3正弦级数与余弦级数327.5.4任意周期的Fourier级数34习题7.5347.6Fourier级数的敛散性357.6.1两个引理357.6.2Fourier级数敛散性的判别法37习题7.6427.7Parseval等式及Fourier变换437.7.1Parseval等式437.7.2Fourier变换47习题7.750第8章向量代数与解析几何初步518.1几何空间中的向量及其运算518.1.1空间坐标系518.1.2向量及其线性运算548.1.3向量的乘法59习题8.1648.2空间中的平面和直线658.2.1空间中的平面658.2.2空间中的直线67习题8.2738.3空间中的曲面与曲线748.3.1空间曲面和曲线的方程748.3.2二次曲面及其分类78习题8.380第9章多元函数的极限和连续性819.1n维欧氏空间中的点集与多元函数819.1.1n维欧氏空间819.1.2欧氏空间上的基本等价定理919.1.3多元函数969.1.4向量值函数97习题9.1989.2多元函数的极限999.2.1二元函数的极限999.2.2向量值函数的极限106习题9.21069.3多元函数的连续性1079.3.1多元函数连续性的定义1079.3.2连续函数的性质1089.3.3初等函数的连续性1089.3.4有界闭区域上的多元连续函数的性质109习题9.3111第10章多元函数微分学11210.1偏导数与全微分11210.1.1偏导数11210.1.2偏导数的几何意义11310.1.3全微分11410.1.4全微分的几何意义11610.1.5方向导数117习题10.111810.2高阶偏导数与复合函数微分法11910.2.1高阶偏导数11910.2.2高阶微分12010.2.3复合函数的求导法则12110.2.4一阶微分形式不变性123习题10.212410.3多元函数的Taylor公式12410.3.1多元函数的微分中值定理12410.3.2多元函数的Taylor公式125习题10.312810.4隐函数存在定理12810.4.1隐函数的概念12910.4.2隐函数存在定理13010.4.3逆映射存在定理134习题10.413510.5多元函数的极值问题13510.5.1普通极值问题13610.5.2条件极值问题140习题10.514410.6几何应用14410.6.1空间曲线的切线与切向量14410.6.2曲面的切平面与法向量146习题10.6148第11章重积分15011.1二重积分的概念和性质15011.1.1可求面积的平面集合D15011.1.2平面上可求面积区域上的二重积分151习题11.115611.2二重积分的计算15611.2.1平面直角坐标系下二重积分的计算15611.2.2二重积分的积分换序15911.2.3极坐标系下二重积分的计算160习题11.216211.3三重积分16311.3.1三重积分的概念和性质16311.3.2三重积分的计算165习题11.317011.4重积分变量代换17111.4.1二重积分换元法17111.4.2三重积分换元法173习题11.417511.5含参变量积分17511.5.1含参变量积分的性质17611.5.2含参变量广义积分180习题11.5188第12章曲线与曲面积分19012.1第一型曲线积分19012.1.1第一型曲线积分的概念19012.1.2第一型曲线积分的性质19112.1.3第一型曲线积分的计算193习题12.119612.2第二型曲线积分19712.2.1第二型曲线积分的概念19712.2.2第二型曲线积分的计算19812.2.3两类曲线积分之间的关系20012.2.4格林公式及其应用20012.2.5平面上曲线积分与路径无关的条件202习题12.220512.3第一型曲面积分20512.3.1第一型曲面积分的概念和性质20512.3.2第一型曲面积分的计算208习题12.321212.4第二型曲面积分21212.4.1第二型曲面积分的概念和性质21212.4.2第二型曲面积分的计算21412.4.3高斯公式21612.4.4积分与曲面无关性217习题12.421812.5斯托克斯公式21812.5.1场论初步21812.5.2格林公式的散度形式与高斯公式22012.5.3格林公式的旋度形式与斯托克斯公式22112.5.4曲线积分与路径无关223习题12.5224第13章微分方程初步22513.1微分方程的一般概念22613.1.1常微分方程的定义和例子22613.1.2解和通解的几何意义229习题13.123013.2微分方程的初等积分法23113.2.1分离变量法23113.2.2变量代换法23913.2.3积分因子法24313.2.4降阶法248习题13.225313.3一阶线性微分方程组和高阶线性微分方程25413.3.1高阶微分方程与一阶微分方程组的互化25413.3.2一阶线性微分方程组25513.3.3高阶线性微分方程264习题13.327613.4简单的偏微分方程27713.4.1波动方程与dAlembert法27713.4.2热传导方程与分离变量法282习题13.4286参考文献288
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前言促进数学发展的力量一方面是自身矛盾运动产生的内部力量，另一方面是由人类社会实践所产生的外部力量，在内外两股力量的驱动下，数学正以前所未有的发展速度影响着各行各业.数学分析是以极限为工具来研究实值函数的一门课程，又称为高级微积分.微积分从萌芽到发展经历了一个漫长的时期，被称为人类思维的最伟大的成果之一，是一颗光辉灿烂的明珠.数学分析是现代数学以及其他专业最重要的基础，如果把数学比喻成一个王国的话，那么数学分析就是这个王国的基础语言.随着人工智能、信息科技、科学计算以及金融数学的飞速发展，数学分析的思想和方法几乎渗入现代科技的所有领域，越来越多的行业迫切需要高深的现代数学知识，而要运用数学来创造高技术，就必须掌握好数学分析这一重要的数学王国语言.现代科学技术正在由工程层面的创新转化为基础理论层面的研究，而基础理论层面的研究需要抽象思维、逻辑推理、科学计算和空间想象等能力.与其他学科相比，数学分析集中体现了这些能力的培养.当今谁能占领数学最高地，谁就能占领技术的最高地.数学在现代技术进步中扮演着越来越重要的角色.数学分析的创立始于17世纪以牛顿和莱布尼茨为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西和魏尔斯特拉斯为代表的奠基性工作.经过两三百年的努力，数学分析的理论框架已经相当完美.尽管国内外已经出版的数学分析、高等数学、微积分教材为数颇多，但针对各类院校的教学实际和要求，对于教材的编排和内容设置，也仁者见仁，智者见智.从2018年实施大类培养以来，北京理工大学徐特立书院、精工书院、求是书院以及对数学有较高要求的理工科学生都选修数学分析课程，人数成倍增加.因此，编写一套适合当前大类培养需求，符合教师和学生使用要求的教材有着重要的意义.本书是我们几位北京理工大学数学与统计学院的教师根据大类培养教学内容和课程体系改革的要求，结合自身的教学实践编写的数学分析教材.我们编写此书的想法如下：第一，注重教材体系完整和严谨，保证整体内容和思想上的紧凑、统一，强化数学基础，以简单、平实、自然的语言来介绍数学分析的基本知识，而不是以近代数学（集合论、拓扑、测度论、微分流形）的语言来表述，力求让读者容易理解数学分析的基本完整理论体系.（1） 首先对数学分析的内容脉络做了梳理，把集合→自然数→实数→极限→连续→微分→积分的联系讲清楚，让初学者体会数学的严谨性，知道先讲集合这样安排的目的.此外，采用戴德金分割来定义实数，而不是将实数表示为一个无限小数，虽然用无限小数定义比较直观，但缺乏数学的严格性.（2） 同一个研究对象的内容放在一起，例如：对于数列，我们把描述实数集完备性的各种命题，包括单调有界数列必收敛、闭区间套定理、波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、数列柯西收敛原理放在数列极限章节中，数项级数与数列极限放在一起；对于函数，把上下极限、海涅定理、函数柯西收敛原理、一致连续这些内容放在函数极限和连续函数章节，使这些命题与其直接对象和概念衔接在一起.这样处理的好处是内容紧凑，不会让读者感到分散凌乱.（3） 由于一些数学概念，例如方向导数，不同的教材和参考书中有不同的定义形式和描述形式，学生很容易在学习过程中产生困惑，因此对于概念的引入和定义，本书采用多种定义方式.教学实践表明，这样做直观易懂，使得学生对概念的理解更透彻，且在看其他参考书时易于融会贯通.（4） 对形异实同的教学内容进行统一化处理.例如，24种函数极限的统一表述.对形同实异的内容进行比较处理.例如，一致连续和柯西收敛原理的区别和联系.第二，重视培养学生在抽象思维、逻辑推理、空间想象、科学计算等诸方面的数学能力，加强书中内容与其他学科领域的交叉融合.在篇幅允许的前提下，书中通过与其他学科密切相关的典型例题的引入，介绍了数学分析与其他学科专业（物理、力学、化学、材料、生物、航空航天、计算机、经济、机电、机械）的联系，为其他工科专业提供现代数学的接口，开拓学生的视野，加强数学模型的思想和训练，增加应用实践能力，并且使得读者理解自然现象一直是数学发展的重要源泉.第三，插入有关的数学史和辩证的数学思想，以“人物注记”和“历史注记”的栏目形式，把数学内容和历史事实以及科学家的一些评述附在栏目当中，这样做的好处是多方面的：①学生能够从历史和数学家的思想和精神中得到激励与启发，调动学生学习数学的兴趣，同时也将思政元素自然地融入教材和课堂教学中；②从数学史的角度来学习数学分析，能够让学生了解数学发展的概貌，提升综合科学素养，感悟数学的魅力，从而能够俯视数学王国；③抽象的数学内容体现了辩证的人生哲理，将数学分析与人生哲理有机地结合在一起.第四，本书与线上乐学、慕课（MOOC）资源相结合，配套有可供手机或者计算机观看的乐学平台课程和数学分析慕课，综合运用这些线上资源实现读者和作者的全方位交流.借助这种线上资源，可以学会在乐学平台提问题并得以及时解决.第五，与国内一般高等数学、微积分教材相比，本书对随着计算机的发展而日益淡化的内容（如函数作图、复杂的积分技巧）进行了适度淡化，而对日益重要的数值微分、数值积分、傅里叶变换和微分方程（包括偏微分方程）进行了适当加强.与传统的数学分析教材相比，本书增加了与其他学科密切相关的解析几何、线性代数和微分方程（包括偏微分方程）章节.第六，权衡内容取舍以及斟酌讲述重点，凡属于分析学中的基本概念、基本理论，书中不惜篇幅和笔墨，讲深，讲通俗.全书分为上下两册.本书为下册，由李保奎、闫志忠、沈良编写.其中，闫志忠编写第8、9、13章，李保奎编写第11、12章，沈良编写第7、10章.本书的完成得到了众多支持和无私帮助，在此，我们对大家的帮助表示衷心的感谢！鉴于我们的水平有限，书中难免有错误或不妥之处，恳请广大读者批评指正.
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