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| 編輯推薦： |
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一本以线性变换为主线来循序渐进地讲述线性代数的理论与应用的教材， 给你带来认识和理解线性代数的另一个视角和维度， 如果你演练了书中作者精心配置的习题， 相信你对线性代数的领悟会有一个新的提升.
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| 內容簡介： |
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线性代数是当代大学生的必修科目， 也是当前科学技术领域的数学基础和通用语言. 随着数据科学的发展， 线性代数的地位越来越重要. 本书前六章是线性代数的基础， 主要讨论 .n的结构， 内容包括向量、矩阵、子空间、内积、行列式、特征值等; 后两章是对基础内容的升华， 主要讨论抽象的线性空间、线性映射、内积等内容.
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| 關於作者： |
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梁鑫，清华大学丘成桐数学科学中心助理教授。分别于2009年和2014年在北京大学数学科学学院获得学士和博士学位，2018年起在清华大学丘成桐数学科学中心任职，主要从事数值线性代数、矩阵分析方向的研究。
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| 目錄：
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绪论 1
第 0章预备知识 7
0.1逻辑与集合7
0.2间接证明法9
0.3映射 13
第 1章线性映射和矩阵 16
1.1基本概念 16
1.2线性映射的表示矩阵 27
1.3线性方程组37
1.4线性映射的运算 49
1.4.1线性运算 49
1.4.2复合52
1.5矩阵的逆 65
1.5.1初等矩阵 65
1.5.2可逆矩阵 66
1.5.3等价关系 71
1.6分块矩阵 76
1.7 LU分解87
第 2章子空间和维数94
2.1基本概念 94
2.2基和维数 104
2.2.1向量的线性关系104
2.2.2基和维数 108
2.3矩阵的秩 112
2.4线性方程组的解集120
第 3章内积和正交性130
3.1基本概念 130
3.1.1内积130
3.1.2标准正交基133
3.2正交矩阵和
QR分解139
3.2.1正交矩阵 139
3.2.2 QR分解142
3.3子空间和投影149
3.3.1正交补151
3.3.2正交投影 153
3.3.3最小二乘问题 155
第 4章行列式162
4.1引子 162
4.2行列式函数165
4.3行列式的展开式 176
第 5章特征值和特征向量187
5.1引子 187
5.2基本概念 191
5.3对角化和谱分解 199
5.4相似 208
第 6章实对称矩阵219
6.1实对称矩阵的谱分解 219
6.2正定矩阵227
6.3奇异值分解234
6.3.1基本概念 235
6.3.2辜低秩逼近239
第 7章线性空间和线性映射 246
7.1线性空间 246
7.2基和维数 253
7.3线性映射 260
7.4向量的坐标表示 266
7.5线性映射的矩阵表示 274
目录 V
第 8章内积空间 287
8.1欧氏空间 287
8.2欧氏空间上的线性映射297
8.3酉空间305
8.3.1基本概念 305
8.3.2辜快速
Fourier变换 310
名词索引318
人名表 324
符号表 325
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| 內容試閱：
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线性代数是当代高等院校学生的必修科目，也是当前科学技术领域的数学基础和通用语言．随着时代的发展和社会的进步，计算机技术和数据科学逐步渗透、应用甚至开始主导不少科学研究和工程技术领域．在新形势下，线性代数变得越来越重要．另一方面，为了更好地建设国家、服务社会，教师和学生都迫切地希望能更快更好地教会、学会基础课程．教好、学好线性代数，离不开体系完整、简明易懂的入门教材．本书正是为此而编写的．
线性代数研究线性空间和线性映射理论，其基础是向量和矩阵的性质．本书精心选择了教学内容，重点阐述最主要的、最常用的知识点，并辅以常见而易于理解的工程实例．
绪论简述了线性代数的整体框架，作者希望读者能够在学前和学后认真阅读，以便纲举目张，对线性代数有一个整体性认识．第 0章主要用来应对中小学数学教育内容不断减少的问题，供读者了解数学的基本逻辑工具．第 1章至第 4章是最基本的主干内容，可以认为是中学数学的简单拓展，是各个专业的学生都务求精熟的部分；第 5章至第 6章是另一部分基本内容，是自然科学、工程技术、社会科学等专业的学生应当掌握的内容．这两部分是线性代数的初等部分，是抽象理论的具体实例．第 7章至第 8章是线性代数中抽象理论的介绍，是线性代数的真正入门．读者应注意随时对照初等部分，发现相同和不同，加深对抽象理论的理解．掌握这部分内容的读者应能在学习其他课程中不断发现和应用线性空间和线性映射理论．这样安排教学内容，既利于读者由浅入深，自具体而抽象地学习线性代数，又便于课时不足的读者只学习部分内容就能了解到线性代数的概貌．
“熟能生巧”“练习铸就大师”．学好线性代数，必须得有习题辅助．本书安排了大量不同类型、由易到难的习题，以供读者使用．只有当学生清楚地知道自己答题是否正确时，才能谈得上学会相应的知识．“学而不思则罔，思而不学则殆．”中学生常有些不好的学习习惯，如只看正文不做题，或不看正文只做题．作者希望读者能在练习中不断熟悉和复习相关知识，当习题做不出时反复阅读思考正文中的知识点，尝试使用相关知识点来解决问题．另外，读者应当认识到，有些较难的习题不是每个人都能做出，但只要尽力思考，即使没有找到解决问题的办法，也已经在思考过程中复习了相关知识，锻炼了分析能力，并非一无所获．
本书将定义、定理、命题、推论、例、注等统一编号为 ........，表示第 ..章第 ..节第 ..项定义、定理或其他内容，其中加辜的章节属于选讲内容；将习题、阅读材料等集中放在每节之后，并统一编号为 ........，表示第 ..章第 ..节第 ..项习题或阅读材料，其中加辜或辜辜的习题是较难或更难的选做题．另外，为提示读者，本书中的例以。结束，证以
结束，其他部分材料换用不同于正文的字体．本书最后列出名词索引、人名表、符号表，以供读者查阅．正文中出现的人名除华人外一般以拉丁转写形式出现，并在人名表中提供了原文和常见译法．
本书可作为高等院校线性代数课程的教材，也可作为自学或复习的参考书．本着体系的完整性和严谨性，作者对所有命题都提供了证明，有些命题还有多个证明，从而使知识体系在逻辑上尽量扎实可靠．教师可以根据教学要求和课时限制自行调整．根据作者的授课经验，完整讲述本书内容，第 1章至第 4章用 35～40学时，第 5章至第 6章用 15～20学时，第 7章至第 8章用 16～20学时，供参考．
本书参考了不少国内外教材，部分习题也来源于此．现列出供读者参阅：
[1] G. Strang．线性代数 [M]．5版．北京：清华大学出版社，2019．
[2] А.И. Кострикин．代数学引论（一）[M]．2版．张英伯，译．北京：高等教育出版社，2006．
[3] А.И. Кострикин．代数学引论（二）[M]．3版．牛凤文，译．北京：高等教育出版社，2008．
[4]丘维声．简明线性代数 [M]．北京：北京大学出版社，2002．
[5]蓝以中．高等代数简明教程（上、下）[M]．北京：北京大学出版社，2002．
[6]史明仁．线性代数六百证明题详解 [M]．北京：北京科学技术出版社，1985．
本书是在清华大学数学科学系和丘成桐数学科学中心的领导与线性代数教学团队的大力支持下完成的，并在 2020年初稿完成后在清华大学大范围试用了两年，获得了大量颇有价值的意见．作者感谢张友金、朱敏娴、刘思齐、王浩然、曹晋、蔚辉、孙晟昊、袁瑶、刘余及其他同事对写书的倡议和支持、对初稿的指正与对体系的建议，并感谢探微书院化 12班刘桓瑀同学对书稿的建议．作者感谢本书的责任编辑刘颖为本书付出的辛勤劳动．
本书得到了清华大学教学改革项目的资助．
作者始终努力使本书准确可靠，但精力和水平所限，书中的错误在所难免．欢迎广大读者对本书提出宝贵意见，指出本书的逻辑上的、文字上的、排版上的任何错误．作者向所有关心本书的人致以诚挚的感谢！
梁鑫田垠杨一龙
2022年 1月于北京
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