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| 編輯推薦： |
★《星期日泰晤士报》畅销书
★入选BBC塞缪尔约翰逊图书奖短名单
★一本了解数学有趣而实用一面的百科式读物，你将了解到一个神秘有趣又意想不到的数学世界。
★赌场中的每一台机器都是建立在对赔率的计算基础之上。在你下注前，数学家会告诉你，可能赚钱的机器是双色骰子游戏，不划算的机器是角子机。如果你能成功计算一台机器的概率，并有足够的启动的资金，你将赢得一大笔钱，并被赌场列入黑名单。
★一个球队的比赛在连胜之后，为什么更容易输掉下一场比赛？体育比赛中为什么总是出现“爆冷”的现象？随机性在多大程度上主宰着比赛结果的输赢？本书从数学的角度回答这些问题。
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| 內容簡介： |
在数学这个光怪陆离又奇妙有趣的世界里，人们建立了一座又一座奇妙的“景观”，吸引所有人来探索。
来自不同文化的人们发明了不同的计数系统，印度的十进制经过历史的沉淀，一骑绝尘，脱颖而出，成为当今普遍使用的计数系统。十二进制是一个可以与之抗衡的系统，它的支持者建立了专门的协会试图推动这一进制的普及。人们开发出各种各样的数学工具、建立各自模型描述自然世界中的规律，甚至用编织来解决计算机都无可奈何的双曲面模型。人们热爱数学，为它写诗，为它拍电影，展现这个世界无与伦比的美，甚至用数学来衡量美。
在现实生活中，数学在很多领域都起着意想不到的作用。我们通常认为体育比赛中的胜负靠的是赛场内的主客观因素，但其实随机性也发挥了不小的作用，这也是体育彩票诞生的基础。从某种程度上说，人们往往低估了随机性对竞技体育成绩的影响。
本书将为你打开一个完全不同的数学世界。
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| 關於作者： |
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亚历克斯·贝洛斯，作家、数学问题和巴西问题专家，著有畅销书《迷人的逻辑题》《烧脑的逻辑题》等。《致敬欧几里得》已被翻译成20多种语言，获得多个奖项。此外，他也是研究巴西问题的专家，曾在美国南部做《卫报》记者时创作了《足球：巴西式生活》一书。
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| 目錄：
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前言
第0章 数字的起源 – 001
几百万年前，人类凭借对数量的直觉发明了数字。虽然这一过程如何产生尚不明确，但人和很多其他动物都天生具有数量的感觉，比如黑猩猩。黑猩猩具有多强的数字运用能力？恒河猴又是如何运用数字的？它们这些能力对我们有什么启发？
第1章 十进制与十二进制- 035
在人类历史发展过程中，生活在不同地区的人们发明了不同的计数系统和方法。二进制、十进制、十二进制、六十进制都曾在不同的社会使用。其中以十二进制对目前流行的十进制的冲击为强大。
第2章简单又迷人的折纸！ - 077
欧几里得几何揭示了三角形美妙的特性，教堂等建筑中的装饰图案展现了各种图形的美。日本的名片折纸艺术和门格尔海绵将人们对几何图形的想象进一步深化。在世界的很多地方，人们用这种方法来教授几何、学习几何。
第3章关于零的故事 – 121
印度的数字系统引入了零的概念。如今，人们对零已十分熟悉，然而，正是这种熟悉让人似乎忽略了它的重要、简洁和实用。
第4章 π 的一生 – 157
π从诞生之日起，就激起了人们的无穷兴趣。一开始，人们只是想计算它的值，不断扩展并精确它的小数位数。后来，人们组织各种智力比赛，看看谁能背出多的位数。人们甚至为它写诗、拍电影。
第5章 数学中的X – 199
在x的助力下，人们提高了计算各种复杂结果的能力，也提升了解决实际问题的能力。比如，在一个矩形空间设计一个环岛，图形是什么。
第6章 数学的休闲时光 – 243
日本数学爱好者开启了幻方和数独的新纪元。人们不仅可以享受揭开谜题的乐趣，也从中体会到数学的纯净和整洁之美。
第7章 喜欢收集数列的人 – 291
在数学的星空中，有许多让人眼前一亮的点点繁星。素数、完全数等就属于这种。
第8章 黄金分割与审美 – 325
能体现数学中的美的概念可能就是黄金分割了。它将我们通常认为无法衡量的美成功地可以用尺子来测量。斐波那契数也是可以在自然环境中发现的一种常见数列，存在于在松果、菠萝、花椰菜和向日葵中。
第9章 如何打败概率 – 351
对于赌徒来说，赌场中划算的赌法来自双色子赌桌，不划算的游戏则是角子机。如果你精通概率并有足够的资金的话，你可能会把赌场算到倒闭。
第10章面包店的诡计 – 405
统计学的诞生给数学的应用注入了新的力量。统计数字给我们带来的启示远比我们想象的还要深远。比如，体育比赛的成绩就有偶然性的因素参与。
第11章 钩针织出的双曲平面 – 445
你可能很难想象，连计算机都无法模拟出的双曲空间竟然可以由针编织出来。数学，以及数学家总是在意想不到的地方带给我们震撼。
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| 內容試閱：
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1992年夏天，我在布赖顿的《防卫晚报》当见习记者。我每天和经常出入地方法院的犯事青少年打交道，采访店主对经济衰退的看法，还要每周更新两次蓝铃花铁路的运行时间。如果你是一名小偷或一位店主，这可能不算一段美好的回忆；但对我来说，这是我一生中非常快乐的时期。
那时，约翰·梅杰刚刚连任首相不久。沉浸在胜利的喜悦中的他提出了一项令人难忘（也饱受嘲讽）的政策倡议。他以国家领导人的严肃态度宣布设立一条电话热线，为民众提供有关锥形交通路标的信息。虽然这是一个平庸的提议，但首相提出它的阵势却搞得好像世界未来都要依靠它了一样。
但在布赖顿，交通锥可是人们关注的焦点。你开车进城的路上一定会遇到施工。以伦敦为起点的主要道路A23（M）像一条由橙色条纹的交通锥围起的走廊，从克劳利延伸到普雷斯顿公园。《防卫晚报》煞有介事地给读者提出了挑战，让他们猜猜，在数十英里（1 英里约为1.6千米）长的A23（M）公路上一共有多少交通锥。资深编辑颇为得意，认为自己想出了一个绝妙的主意。假日游园会风格的趣题不仅提供了背景信息，也取笑了中央政府，这简直是地方报纸的完美素材。
然而，比赛开始后才过几个小时，编辑部就收到了份答案，读者已经估算出了交通锥的正确数量。我记得那些资深编辑在办公室里垂头丧气，没有人说话，仿佛一位重要的地方议员刚刚去世。他们原本是想滑稽地模仿首相，但现在自己却被弄得像傻瓜一样。
编辑认为猜出20英里左右的高速公路上有多少交通锥是不可能完成的任务。显然事实并非如此，我想我是这栋大楼里一个知道原因的人。假设交通锥以相同的间距放置，你只需要进行一步计算就可以得到结果：
交通锥数量 = 道路长度÷ 交通锥间隔的距离
道路的长度可以通过开车行驶距离或者测量地图得出。要计算相邻交通锥的间距，你只需要一把卷尺。即使交通锥之间的间距可能会有一些变化，估计的道路长度也可能会有误差，但在很长的距离上，这种估算的准确性已经足够赢得地方报纸组织的竞猜活动了（而且交警向《防卫晚报》提供正确答案时所使用的计算方式可能与此并无二致）。
我清楚地记得这件事，在我作为记者的职业生涯中，我次意识到了数学思维的重要性。我也不安地意识到，大多数记者不懂数学。其实算出排在路边的交通锥的数量并不复杂，但对我的同事来说，计算并不简单。
在那两年前，我刚拿到了数学和哲学学位，横跨文理两个领域。表面上看起来，进入新闻业标志着我放弃了理科，接受了文科。在“交通锥惨败事件”后不久，我离开了《防卫晚报》，到伦敦工作。终，我成为一名驻里约热内卢的记者。我对数字的敏感性偶尔会有些用处，比如，我能发现近年被砍伐的亚马孙丛林的面积相当于哪一个欧洲国家，或者计算各种货币危机期间的汇率。但除此之外，我几乎已经把数学抛在了脑后。
几年前，我回到英国，不知道接下来要做什么。我卖过巴西足球运动员的短袖衫，开过博客，打过进口热带水果的主意，但差不多一事无成。在重新审视自己人生的过程中，我再次想起了数学这门耗费了我太多青春的学科，我正是在这里找到了灵感的火花，它引领我写成了这本书。
作为成年人，进入数学世界的感受和孩子的感受完全不同。对孩子来说，学习数学代表着需要通过考试，这意味着，他们会错过很多真正引人入胜的东西。现在，我可以自由游走于其间，看到一个新奇又有趣的课题就去探索一番。我学习了民族数学，也就是研究不同文化如何对待数学，以及数学是如何被宗教塑造的。我对行为心理学和神经科学的前沿研究很感兴趣，这些研究把大脑思考数字的原因和方式联系在了一起。
我意识到，我这些探索也很像一位驻外记者，但不同的是，我访问的国家是一个抽象的国家，它叫“数学王国”。我的旅程是一次真正意义上的旅行，因为我想通过现实世界体验数学。所以，我飞到印度想知道这个国家是如何发明“零”的，这是人类历伟大的智力突破之一。我在里诺的一家大型赌场预订了房间，想用实际行动看看什么是概率。我在日本见到了世界
上会算术的黑猩猩。
随着研究的深入，我发现自己处于一个奇怪的位置，我既是专家，也是一位业余爱好者。重新学习学校教过的数学知识，就像重新认识老朋友一样，但还有很多朋友的朋友是我从来没有见过的，我也见到了很多新来的孩子。举个例子，在我写这本书之前，我不知道几百年来一直有人提倡要在我们的十进制系统中再引入两个数字，我也不知道为什么英国是个铸造七边形硬币的国家，我对数独背后的数学更是一无所知（因为在我上时，它还没有被发明
出来）。
我来到了一个意料之外的地方，这些地方包括布伦特里、埃塞克斯和美国亚利桑那州的斯科茨代尔，还读到了一些意想不到的书。为了理解毕达哥拉斯为什么对食物如此挑剔，我花了一整天读了一本关于植物仪式历史的书。
这本书从第0章开始，因为我想强调，这一章讨论的主题是“前数学”，讲述了数字是如何产生的。从第1章开始，数字已经出现，我们就正式开始了。从这里到第11章结束，这本书将涵盖尽可能多的领域，包括算术、代数、几何、统计学，等等。我将精简关于专业上的内容，但有时别无他法，我就只能写出方程和证明。如果你觉得头疼，可以跳到下一节的开头，内容就会变得容易起来。
每一章都是独立的，也就是说，不必阅读前面的章节就可以理解下一章。你也可以按任意顺序阅读，但我还是希望你从头到尾阅读所有章节，因为它们大致按照时间顺序介绍了这些数字思想，偶尔也会回顾一下之前的要点。这本书的目标读者是非数学专业的读者，书中涵盖了从小学水平一直到本科快毕业时才会学到的概念。
因为数学也包括数学的历史，所以我还加入了一些历史资料。在人文学科中，总是有新的思想或风潮取代早先的观点；在应用科学中，虽然理论会不断完善，但数学与它们不同：数学永不过时。毕达哥拉斯和欧几里得的定理现在仍然有效，因此，毕达哥拉斯和欧几里得是我们在学校里学到的古老的名字。在英国普通中等教育证书（GCSE）的教学大纲中，几乎所有内容都是17世纪中期之前发现的数学知识；同样，英国中学高级水平考试（A-level）的范围也没有超过18世纪中期已知的数学知识。（我在大学里所学的近的数学知识诞生于20 世纪20 年代。）
在写这本书的时候，与读者交流数学发现带来的兴奋和惊奇，一直是我的动力之源。（当然，也有一部分动力是为了证明数学家是很有趣的。我们是逻辑之王，对不合逻辑的东西有极强的辨别能力。）数学总是因枯燥和困难而广为人知。确实，数学往往很难，但数学也可以带来启发，容易被理解。重要的是，它拥有非凡的创造力。抽象的数学思想是人类的伟大成就之一，它也可以说是人类进步的基础。
数学王国是一个了不起的地方，我建议你去那里看看。
亚历克斯·贝洛斯
2010 年1 月
第9章
如何打败概率
曾经有一种说法是，去拉斯维加斯结婚，去里诺离婚。而现在，你可以前往这两座城市玩一把角子机。里诺的佩珀米尔赌场有1 900台角子机，但它还不是城中的赌场。穿过赌场的大厅，轮盘赌桌和21点的赌桌在一排排闪烁、旋转、嘟嘟作响的角子机的衬托下，显得黯然失色。科技的进步让这些“独臂土匪”失去了摇杆，也没有了机械的内核。玩家现在可以通过按下发光的按钮或点击触摸屏来下注。偶尔能听到硬币哗啦啦的声音，但这来自预录的样本，因为硬币已经被电子信用卡取代。
角子机是赌场产业的前沿，是博彩的前线，也是底线。这些机器在美国每年能挣250亿美元（除去它们兑付的所有奖金后），大约是美国每年电影总票房的2.5倍。在全球赌场文化中心内华达州，角子机的收入如今占博彩收入的近70%，而且这个数字每年还在上升。
概率是对可能性的研究。当我们掷硬币或玩角子机时，我们不知道硬币会如何落下，也不知道旋转的滚筒会停在哪里。概率为我们提供了一种语言，来描述硬币正面朝上，或者我们中头彩的可能性。通过数学方法，不可预测性变得非常可预测。概率似乎是我们日常生活中理所当然的一部分，比如在查看天气预报时，我们默认预报结果会以一个概率出现。但在人类思想史上，意识到数学可以告诉我们未来的这个想法是近几百年才出现的，且影响深远。
我来里诺是为了见一位数学家，世界上超过一半的角子机的赔率是由他设定的。他的工作有悠久的历史渊源，概率论早是16 世纪由赌徒吉罗拉莫·卡尔达诺提出的，我们在讨论三次方程时曾提到过这位意大利朋友。这种会导致自我厌恶的嗜好给数学带来了突破，这是很罕见的。“我过分沉迷于棋盘和赌桌，我知道我必须受到严厉的谴责。”他写道。他的坏习惯让他写出了一部短小的专著，名叫《论赌博游戏》，这是部科学分析概率的作品。然而，这本书太超前了，直到他死后一个世纪才出版。
卡尔达诺的观点是，如果一个随机事件有几个具有相同可能性的结果，那么任何一个结果发生的概率等于该结果数目与所有可能结果数目之比。也就是说，如果某件事占了6个可能结果中的一个，它发生的概率就是六分之一。所以，当你掷色子时，得到6的概率是1/6。掷出偶数的机会是3/6，也就是1/2。概率可以被定义为某种事情发生的可能性，用分数表示。不可能发生的概率为0，而确定会发生的概率为1，其余的均介于两者之间。
这看起来很直观，但事实并非如此。古希腊人、古罗马人和古印度人都是狂热的赌徒，然而，似乎没有人试图理解随机性是如何被数学定律支配的。例如，在罗马，掷硬币是解决争端的一种方式。
如果掷到了恺撒大帝的头像这一面，那就意味着同意这个决定。随机性并没有被认为是随意的，而是一种神圣意志的表达。纵观历史，人类在寻找解释随机事件的方法上具有非凡的想象力。例如，“书本占卜术”（rhapsodomancy）就是通过在文学作品中随机选择一段文字来给出指导。同样，根据《圣经》，拣选短麦秆是一种公平的选择方式，但得出的结果被解释为上帝的意志：“签放在怀里，定事由耶和华。”（《箴言》16:33）
迷信给概率的科学研究带来了极大的阻碍，但在掷了几千年色子之后，神秘主义被一种更强烈的人类欲望所克服，那就是对经济利益的渴望。吉罗拉莫·卡尔达诺是个把命运握在手里的人。事实上可以这么说：概率的发明是近几个世纪迷信和宗教衰落的根源。
如果不可预测的事件遵从数学规律，就不需要神明来解释它们了。世界的世俗化通常被认为是查尔斯·达尔文和弗里德里希·尼采等思想家的功劳，但很可能其实是吉罗拉莫·卡尔达诺开了先河。运气游戏常使用色子。古代经常使用距骨，也就是绵羊或山羊的脚踝骨，它有四个平坦的面。印度人喜欢棒状和三角巧克力形状的色子，他们用小点标记不同的面，很有可能色子早于所有正式的数字符号系统出现，并沿用了下来。公平的色子每一面都相同，如果进一步要求每面都必须是一个正多边形，则只有5种形状符合，也就是5种柏拉图多面体。所有柏拉图多面体都被用作色子。乌尔（Ur）可能是世界上已知的古老的游戏，这个至少可以追溯到前3世纪的游戏用到了正四面体，然而，这却是5种选择中糟糕的一个，因为四面体只有4个面，且几乎无法滚动。古埃及人使用正八面体（有8个面），而正十二面体（12个面）和正二十面体（20个面）如今则存在于占卜师的手提包里。
目前流行的色子形状是立方体。它容易制造，数字的跨度既不大也不小，滚动起来很流畅，但又没那么容易滚动，会明确地落在某个数字上。带有点的立方体色子在不同文化中都是运气和机遇的象征，无论是在中国的麻将室里，还是在英国汽车的后视镜上a，都能看到一样的色子。之前说过，掷一个色子，掷出6的概率是1/6。再掷一个色子，出现6的概率还是1/6。那么掷一对色子，得到一对6的概率是多少？概率论基本的规则是，两个独立事件发生的概率等于个事件发生的概率乘以第二个事件发生的概率。当你掷一对色子时，个色子得到的结果与第二个色子的结果无关，反之亦然。所以，掷出两个6的概率是1/6×1/6，等于1/36。你可以通过计算两个色子的所有可能组合，直观地看到这一点：一共有36个具有相同可能性的结果，其中只有一个结果是一对6。相反，在36个可能的结果中，有35个不是一对6。所以，没有掷出一对6的概率是35/36。你也可以不列举出35个例子，而是从完整的集合中减去掷出一对6的情况。在这个例子中就是，1 – 1/36 =35/36。因此，某件事没有发生的概率是1 减去这件事情发生的概率。
色子赌桌相当于早期的角子机，赌徒们把赌注押在掷色子的结果上。一种经典的赌博游戏是掷出4个色子，押注至少有一个6出现的可能性。对于任何愿意在这件事上押钱的人来说，这可以让你获得一些额外的收入，而且我们也有足够的数学知识来理解为什么会这样：
步：用4个色子掷出至少一个6的概率等于1减去4 个色子中没有一个色子出现6 的概率。
第二步：一个色子没有掷出6的概率是5/6，因此如果有4个色子，都没有掷出6的概率就是5/6×5/6×5/6×5/6 = 625/1 296，也就是0.482。
第三步：所以，掷出至少一个6 的概率是 1 – 0.482 = 0.518。
概率为0.518 意味着，如果你连续1 000 次每次掷4个色子，得到至少一个6的情况大约会发生518次，而没有6的情况大约有482 次。
如果你押注至少会出现一个6，平均而言你赢的次数会比输的次数要多，所以你终能从中获利。
17世纪作家舍瓦利耶·德梅雷（Chevalier de Méré）坐在赌桌前的频率，和他身处巴黎时髦的沙龙里的频率一样。德梅雷对掷色子的数学原理和赢钱都很感兴趣。虽然他提出了一些关于赌博的问题，但是他凭自己的能力无法回答。因此，1654年，他找到了著名数学家布莱兹·帕斯卡。帕斯卡对概率的调查成为一个引发了对随机性的研究的随机事件。
布莱兹·帕斯卡在遇到德梅雷的问题时才31岁，但他在学术界的名声已经流传了近20年。帕斯卡幼年时就表现出了惊人的天赋，13岁时，他的父亲让他参加了素数爱好者马兰·梅森修士组织的科学沙龙，梅森的沙龙聚集了许多著名数学家，包括勒内·笛卡儿和皮埃尔·德·费马。帕斯卡在十几岁时就证明了几何学中的重要定理，并发明了一种早期的机械计算器，也叫“加法器”（Pascaline）。
德梅雷问帕斯卡的个问题与“两个6”有关。我们在前面看到，当你掷两个色子的时候，有1/36的机会能得到两个6。掷色子的次数越多，获得两个6的机会就越大。德梅雷想知道他需要把一对色子掷多少次，才更有可能出现两个6。
德梅雷的第二个问题更复杂。假设让和雅克正在玩一个色子游戏，游戏包括几个回合，每个回合两人都掷出色子，看谁得到的数字，率先赢得三个回合的人获胜。在三个回合之后，游戏因意外需要终止。直接的赢家是掷出了三次的数字的人。每个人的赌注是32法郎，所以赌注总额是64法郎。但如果让掷了两次的数，而雅克掷了一次，应该如何分配赌注？
帕斯卡思索着答案，他觉得有必要找一位天才的同行来讨论这些问题，于是他写信给梅森沙龙的老朋友皮埃尔·德·费马。费马住在远离巴黎的图卢兹，这座城市的名字似乎很适合一位分析赌博问题的研究者居住a。费马比帕斯卡年长22岁，他在当地刑事法院当法官，把数学作为一种智力娱乐。然而，他的业余思考使他成为17 世纪上半叶受尊敬的数学家之一。
帕斯卡和费马关于概率（他们称之为“偶然性”）的短暂通信成为科学史上的一座里程碑。他们解决了那些享乐主义者的问题，也为现代概率论奠定了基础。
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