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| 內容簡介： |
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本书力图从理论和应用两方面深入浅出地介绍数学化的基础理论和相关经典算法。全书共分五章，主要内容包括：凸分析基础、线性规划和单纯形算法，拉格朗日对偶性理论和KKT性条件等。每章都给出了一些习题供读者参阅。我们力求对书中的相关定理给出详细完整的证明过程，其定理的证明和算法的推导主要基于数学分析、拓扑和线性代数为理论基础。我们还在书中有关章节回顾了线性代数、拓扑和微积分的相关预备知识。并介绍了MATLAB和CPLEX优化建模软件的使用。 本书可作为高年级本科生、研究生运筹学和数学化课程的教材和相关研究人员的参考书。
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| 關於作者： |
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牛一帅，男，上海人，现任上海交通大学巴黎高科卓越工程师学院和数学科学学院教授，博士生导师。2001年赴法国留学就读法国国家应用科学院，分别于2006年获工程数学、理论和应用数学双硕士学位，并于2010年获该校数学博士学位，并荣获法国博士论文“荣誉奖”，师从DC规划之父Pham Dinh Tao教授。
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| 目錄：
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1 Introduction de l’optimisation
1
1.1 Brève histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2 Définition du problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.3 Classes des problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.4 Rappels mathématiques pour l’optimisation . . . . . . . . . . . . . .5
1.4.1 Normes vectorielles et matricielles . . . . . . . . . . . . . . .5
1.4.2 Suite numérique dans Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Topologie dans Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.4 Fonctions de plusieurs variables et calcul différentiel . . . . . 17
2 Analyse convexe
25
2.1 Ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Combinaison linéaire， convexe， affffine et positive . . . . . . . . 30
2.1.3 Théorème de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.4 Projection et Séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.5 Point extrémal et Direction extrémale . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.6 Théorème de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.7 Lemme de Farkas et de Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1 Fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.2 Fonction D.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Optimisation Linéaire
65
3.1 Problème d’optimisation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Solution d’optimisation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1 Théorème d’existence de solution optimale d’optimisation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2 Solution de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Méthodes de résolution du problème (OL) . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1 Méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.2 Algorithme du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.3 Tableau du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.4 Méthode des deux phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.5 Règles d’anti-cyclage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3.6 Logiciels pour l’optimisation linéaire . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Théorie de dualité
104
4.1 Problème dual et point-selle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2 Dualité de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 Conditions d’optimalité
114
5.1 Direction réalisable et Direction de descente . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2 Conditions d’optimalité du problème d’optimisation sans contrainte . 116
5.3 Conditions d’optimalité du problème d’optimisation sous contraintesd’inégalités et d’égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3.1 Contrainte active et qualification de contrainte . . . . . . . . 118
5.3.2 Qualifications des contraintes usuelles . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.3 Conditions de Karush-Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . 123
Bibliographie
134
Index des définitions
135
Index des théorèmes
139
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