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| 編輯推薦： |
离散数学是计算机科学与技术专业的一门重要基础课。本书主要包含数理逻辑、集合与关系、函数、组合计数、图和树、代数系统、自动机和初等数论等内容。本版新增应用案例，阐明相应章节的知识可以解决什么样的典型应用问题。本书历史注记可以帮助读者理解数学，洞察内在本质。
本书体系严谨，选材精炼，讲解翔实，例题丰富，注重理论与计算机科学技术的实际问题相结合，并选配了大量难度适当的习题，并给出奇数题的答案，适合教学。本书适合作为计算机类和相关专业本科生离散数学的教学用书。 本书有配套教材《离散数学解题指导（第3版）》。
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| 內容簡介： |
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离散数学是计算机科学与技术专业的一门重要基础课。全书共10章，主要包含数理逻辑、集合与关系、函数、组合计数、图和树、代数系统、自动机和初等数论等内容。新增应用案例，阐明相应章节的知识可以解决什么样的典型应用问题。本书历史注记可以帮助读者理解数学，洞察内在本质。 本书体系严谨，选材精炼，讲解翔实，例题丰富，注重理论与计算机科学技术的实际问题相结合，并选配了大量难度适当的习题，并给出奇数题的答案，适合教学。本书适合作为计算机类和相关专业本科生离散数学的教学用书。
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| 關於作者： |
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贲可荣，海军工程大学教授、博导，CCF理论计算机科学专委副主任，《计算机科学与探索》执行编委，获军队育才奖金奖，评为教育部骨干教师，主编《人工智能》入选普通高等教育十二五国家级规划教材。
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| 目錄：
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第1章命题逻辑1
1.1现代逻辑学的基本研究
方法1
1.2命题及其表示法3
1.2.1命题的概念3
1.2.2联结词4
1.3命题公式与语句形式化8
1.3.1命题公式的定义8
1.3.2公式的层次8
1.3.3语句形式化9
1.3.4复合命题真假值9
1.3.5真值表11
1.4重言式12
1.4.1重言式概述12
1.4.2逻辑等价式13
1.4.3等值演算16
1.5对偶与范式16
1.5.1对偶16
1.5.2简单合取式和简单
析取式17
1.5.3范式18
1.5.4范式的唯一性
主范式20
1.6其他联结词24
1.6.1n元真值函数24
1.6.2真值函数与命题
公式的关系25
1.6.3联结词完备集25
1.6.4单元素联结词构成
的联结词完备集26
1.7命题演算的推理理论27
1.7.1有效推理27
1.7.2有效推理的等价
定理29
1.7.3重言蕴涵式30
1.7.4形式推理系统31
1.7.5自然推理系统P234
1.8命题演算中的归结推理38
1.8.1归结推理规则38
1.8.2归结反演40
1.8.3命题逻辑归结反演的
合理性和完备性41
1.9应用案例41
1.9.1克雷格探长案卷录41
1.9.2忘却林中的艾丽丝
（狮子与独角兽）43
习题44
计算机编程题52
第2章谓词逻辑53
2.1谓词逻辑的基本概念53
2.1.1个体词54
2.1.2谓词54
2.1.3量词55
2.2谓词逻辑公式与翻译56
2.2.1一阶语言56
2.2.2自由与约束57
2.2.3闭公式58
2.2.4谓词逻辑公式的
解释59
2.2.5谓词逻辑命题符
号化60
2.2.6一阶公式的分类63
2.3谓词逻辑等值演算64
2.3.1基本等价式与置换
规则64
2.3.2谓词逻辑前束
范式67
2.4谓词演算的推理理论68
2.4.1推理定律69
2.4.2量词消去与引入
规则69
2.4.3一阶谓词演算公理
系统F170
2.4.4自然推理系统F271
2.5谓词演算中的归结推理73
2.5.1子句型73
2.5.2置换和合一75
2.5.3合一算法77
2.5.4归结式77
2.5.5归结反演及其完
备性78
2.6应用案例79
2.6.1电路领域的知识
工程79
2.6.2基于逻辑的财务
顾问80
2.7逻辑在计算机科学中的
作用80
2.7.1逻辑与计算80
2.7.2逻辑与计算机的
起源81
2.7.3逻辑与程序设计81
习题81
计算机编程题86
离散数学（第3版）目录第3章集合与关系88
3.1集合的概念和表示法88
3.1.1集合的表示88
3.1.2基本概念89
3.2集合的运算91
3.2.1集合的基本运算91
3.2.2有穷计数集92
3.2.3包含排斥原理93
3.2.4广义交和广义并94
3.3有序对与笛卡儿积96
3.4关系及其表示98
3.4.1基本概念98
3.4.2关系表示法99
3.5关系的运算101
3.5.1基本概念101
3.5.2复合关系102
3.5.3逆关系103
3.5.4关系幂105
3.5.5幂运算的性质106
3.6关系的性质108
3.6.1关系的5种基本
性质108
3.6.2关系性质的等价
描述109
3.7关系的闭包112
3.7.1基本概念112
3.7.2闭包的性质116
3.8集合的划分与覆盖118
3.9等价关系和等价类119
3.9.1等价关系119
3.9.2等价类的性质120
3.9.3商集与划分121
3.10相容关系和相容类122
3.11偏序关系124
3.12偏序集与哈斯图125
3.13应用案例128
3.13.1同余关系在出版
业中的应用128
3.13.2拓扑排序在建筑
工序中的应用128
3.13.3等价关系在软件
测试等价类划分
中的应用129
习题129
计算机编程题135
第4章函数136
4.1函数的定义136
4.1.1函数和像136
4.1.2函数的性质138
4.1.3常用函数139
4.2复合函数和反函数140
4.2.1复合函数140
4.2.2反函数142
4.3特征函数与模糊子集144
4.4基数的概念146
4.4.1后继与归纳集146
4.4.2自然数，有穷集，
无穷集147
4.4.3基数152
4.5可数集与不可数集153
4.6数学归纳法154
4.7应用案例157
4.7.1逢黑必反魔术157
4.7.2生成函数在解决汉诺塔
问题中的应用158
习题158
计算机编程题162
第5章组合计数163
5.1基本原理163
5.1.1加法原理163
5.1.2乘法原理164
5.2排列与组合165
5.2.1排列165
5.2.2组合165
5.3排列组合生成算法166
5.3.1排列生成算法166
5.3.2组合生成算法168
5.4广义的排列和组合170
5.5二项式系数和组合恒
等式171
5.5.1二项式定理171
5.5.2组合恒等式173
5.6鸽笼原理174
5.6.1鸽笼原理的简单
形式174
5.6.2鸽笼原理的一般
形式174
5.7递推关系及应用176
5.7.1递推定义函数176
5.7.2递推定义集合177
5.7.3递推关系模型178
5.7.4求解递推关系180
5.7.5递推在算法分析中的
应用181
5.7.6生成函数183
5.8应用案例186
5.8.1大使馆通信的码
字数186
5.8.2条条道路通罗马186
习题187
计算机编程题188
第6章图论189
6.1图的基本概念189
6.1.1图的定义和表示189
6.1.2图的同构194
6.1.3完全图与正则图195
6.1.4子图与补图195
6.1.5通路与回路198
6.2图的连通性199
6.2.1无向图的连通性199
6.2.2有向图的连通性201
6.3图的矩阵表示202
6.3.1关联矩阵202
6.3.2有向图的邻接
矩阵203
6.3.3有向图的可达
矩阵204
6.4欧拉图204
6.5哈密顿图207
6.6二部图210
6.6.1二部图及判别
定理210
6.6.2完备匹配211
6.7平面图213
6.7.1平面图及其判定
定理213
6.7.2平面图的对偶图219
6.8带权图220
6.9应用案例221
6.9.1网络爬虫221
6.9.2读心术魔术222
6.9.3高度互联世界的
行为原理222
习题222
计算机编程题229
第7章树及其应用230
7.1概述230
7.1.1树的定义及相关
术语230
7.1.2树的性质232
7.2生成树233
7.3最小生成树237
7.4树的遍历239
7.5二叉树241
7.5.1二叉树的性质241
7.5.2二叉搜索树242
7.5.3哈夫曼树242
7.6决策树244
7.6.1决策树的定义245
7.6.2最短时间排序246
7.7树的同构247
7.8博弈树251
7.8.1博弈树的概念251
7.8.2极大极小分析法252
7.9应用案例254
7.9.1哈夫曼压缩算法的
基本原理254
7.9.2决策树在风险决策
中的应用254
7.9.3一字棋博弈的极大
极小过程255
习题255
计算机编程题257
第8章代数系统259
8.1二元运算及其性质259
8.1.1定义和表示259
8.1.2二元运算的性质261
8.2代数系统263
8.2.1定义和实例263
8.2.2子代数系统265
8.2.3代数系统的同态
与同构266
8.3半群与独异点266
8.3.1定义与性质266
8.3.2子系统与直积268
8.4群269
8.4.1群的定义269
8.4.2群的性质271
8.4.3子群的定义273
8.4.4特殊的群274
8.4.5陪集与拉格朗日
定理277
8.4.6正规子群与商群278
8.4.7群的同态与同构
实例280
8.5环与域282
8.5.1环282
8.5.2域284
8.6格与布尔代数284
8.6.1格284
8.6.2布尔代数288
8.7应用案例291
8.7.1组合电路291
8.7.2物理世界中群的
应用292
8.7.3群码及纠错能力292
习题292
计算机编程题299
第9章自动机、文法和语言300
9.1串和语言300
9.2形式文法301
9.3有限状态机304
9.4有限状态自动机306
9.5不确定有限状态自动机310
9.6语言和自动机之间的
关系313
9.7应用案例314
9.7.1奇偶校验机314
9.7.2识别地址的有限
状态机314
9.7.3语音识别315
习题315
计算机编程题318
第10章数论与密码学319
10.1素数319
10.2最大公约数与最小公
倍数320
10.3同余323
10.4一次同余方程和中国
剩余定理325
10.4.1一次同余方程325
10.4.2中国剩余定理326
10.5欧拉定理和费马小
定理327
10.6数论在密码学中的
应用328
10.6.1公钥密码学328
10.6.2RSA密码328
10.7应用案例330
10.7.1密码系统与公开
密钥330
10.7.2单向陷门函数在
公开密钥密码系
统中的应用330
习题331
计算机编程题331
附录历史注记332
参考文献334
|
| 內容試閱：
|
没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。
数学家B. 德莫林斯
1. 数学学科的地位和作用
美国数学家柯朗在《数学是什么》一书中提出： 数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。
从数学学科本身来讲，数学是一门科学，这门科学有它的相对独立性，既不属于自然科学，也不属于人文、社会或艺术类科学；从它的学科结构看，数学是模型；从它的过程看，数学是推理与计算；从它的表现形式看，数学是符号；从对人的指导看，数学是方法论；从它的社会价值看，数学是工具。用一句话概括： 数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型之结构的一门科学。
数学在人类文明的进步和发展中一直发挥着重要作用。过去，人们习惯把科学分为自然科学、社会科学两大类，数、理、化、天、地、生都归属自然科学。但是，现在科学家更倾向于把自然科学界定为以研究物质的某一运动形态为特征的科学，如物理学、化学、生物学。数学是忽略了物质的具体运动形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度研究现实世界的，具有超越具体科学和普遍适用的特征，且具有公共基础的地位，与理、化、生等学科不属于同一层次，因此不是自然科学的一种。把科学分为数学、自然科学、社会科学三大类，这种观点更为学术界所认可。
数学的许多高深理论与方法正广泛深入地渗透到自然科学的各个领域中，当代科学的研究正日益呈现出数学化的趋势。
无论是电子计算机的发明，还是它的广泛应用，都是以数学为基础的。在电子计算机发明史上，里程碑式的人物艾伦图灵（Alan Turing）和冯诺依曼von Neumann都是数学家，而在当今计算机的重大应用中也无不包含着数学。信息技术已被广泛应用于方方面面，一项高科技成果常常对应一种或几种数学方法的应用。事实上，从医学上的CT技术到印刷排版的自动化，从飞行器的模拟设计到指纹的识别，从石油地震勘探的数据处理到信息安全技术，从天气预报到航天技术等，在形形色色的技术背后，数学都扮演着十分重要的角色，常常成为解决问题的关键。
王梓坤院士说过，数学的贡献在于对整个科学技术（尤其是高新科技）水平的推进与提高，对科技人才的培育和滋润，对经济建设的繁荣，对全体人民的科学思维与文化素质的哺育，这四方面的作用是极为巨大的，也是其他学科所不能全面比拟的。
离散数学（第3版）第3版序2. 用模糊性、矛盾和悖论创造数学
拜尔斯（William Byers）在《数学家如何思考》（How Mathematicians Think）一书中指出： 数学的核心并非如大多数人所认为的那样是依靠逻辑和规则的。
他通过许多例子指出，在逻辑非常重要的话题中，矛盾和悖论发挥了至关重要的作用。矛盾就像驾驶人在转错弯时遇到的禁入标志，而悖论就像四面八方都禁入的交叉路口。公路工程师从这些交叉点学到一些东西，或许会想出新的解决方案，如地下通道或立交桥。因此，深思熟虑后，不应该惊奇像数学这样有公路交规的学科不得不处理矛盾的情形。而且在这个过程中学到的经验教训可能在将来发挥基本的作用。
在清晰度和准确度要求很高的领域，拜尔斯被那些清晰性失效的情形吸引了。拜尔斯不但不把这种模糊性 ambiguity看作系统的弱点、失败，反而认为它们是创造过程的催化剂。既然不同的结果是可能的，就存在灵活性和开放性。仔细研究模糊性能展示隐藏的含义，打开通往新旅程的大门。
3. 数学教育的地位和作用
数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力之一。数学与人类文明、人类文化有着密切的关系。数学在人类文明的进步和发展中，一直在文化层面上发挥着重要作用。
数学不仅是一种重要的工具或方法，也是一种思维模式，即数学方式的理性思维；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即数学文化；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即数学素质。数学训练在提高人的推理能力、抽象能力、分析能力，是其他训练难以替代的。
数学素质是人的文化素质的一个重要方面。数学的思想、精神、方法，从数学角度看问题的着眼点、处理问题的条理性、思考问题的严密性，对人的综合素质的提高都有不可或缺的作用。胸中有数中的数，不仅包含事务的数量方面，还应包含数学的思想、精神、方法等方面。
数学教育将在以下5个方面对大学生的培养发挥作用： ①掌握必要的数学工具，用来处理和解决本学科中普遍存在的数量与逻辑推理问题； ②了解数学文化，提高数学素质，将使人终身受益； ③培养数学方式的理性思维，如抽象思维、逻辑思维等，会潜移默化地在人们日后的工作中起到作用； ④培养全面的审美情操，体会数学是与史诗、音乐、造型并列的美学中心构架； ⑤为学生的终身学习打基础、做准备。
对每个人来说，为了更好地投身于建设事业，提高自身素质，必须以数学为立身之本。对于理工科学人来说，应掌握数学精髓，而且，掌握得越深入、越广泛越好。
4. 关于编程和数学
虽然数学是计算机的工具，在思维的本源上有相似性和共同性编程语言与数学语言，但编程和数学不同的思维模型，说明了它们在上层需要构建各自不同的技能树。而学习和掌握一个技能点需要花时间练习，从而在大脑中训练出特定的结构。
所以，编程与数学不可能做到学一个另一个就自然而然地掌握了。它们两者的依赖关系是： 编程需要数学，数学则不需要编程。
另外，纵然数学是工具、是基础、是上层的依赖，但并不是说数学就高于一切，优于一切，是最强大的。因为最基础是必要的最开始，但不一定就是最强大的。例如，沙子是建筑的基础，但不能代表建筑的价值；无机物是有机物的基础，有机物是生命的基础，但生命的价值必然是高于无机物的。
可见，发展的过程环环相扣，关系的道路上谁也少不了谁，基础代表必要，发展则代表了未来。
5. 数学学习方法要点
通过数学学习培养类比、分析、归纳、抽象、联想、演绎推理、准确计算、学习新知识、运用数学软件、应用数学10种基本数学能力。
通过数学学习增强如下5种基本数学素养： 主动探寻并善于抓住数学问题中的背景和本质；熟练地用准确简明规范的数学语言表达自己的数学思想；具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法；对各种问题以数学方式的理性思维，从多角度探寻解决问题的道路；善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型。
数学学习需要循序渐进、逐步进步，不能一蹴而就、中间跳跃，要耐住性子积累知识和能力。培养个性化学习和研究能力、独立思考能力，课后多思考、多动手，通过与人讨论、研读文献提高数学素养与能力。
数学学习的特点使得习题训练在数学学习中有特别重要的作用，理解各部分知识的联系、明确解决问题的思路、数学思维的培养、书面表达能力的训练，很大程度上依靠做习题完成，不可以抄解答代替做题。
用简洁、严谨、规范的数学语言表达自己的数学思想，并有组织地书写，对培养数学素养极为重要。因此，解答数学问题要先思考，再组织语言，最后写到本子上。计算题最重要的不是答案是否准确，而是要注意到每一步计算的理由和算法是否表达得清楚。
除了做基础性的习题外，要在后续课程和综合课程中发现基础课程的实际应用，注重数学建模中各种知识的应用。
通过课程学习、小组讨论、教师交流、课外学习，对数学已有结论进行反思，提出进一步讨论的话题，并在老师的帮助下进行力所能及的探索、整理、发现，培养创新能力。对本科生而言，在校期间按需要翻阅一些科普文章，阅读普及性的书籍，以学习研究论文的研究方式，保持对数学的爱好和敏感。
6. 第3版修订的主要内容
2019年11月，教育部高等学校计算机类专业教学指导委员会计算机科学与技术专业数学类课程建设论证小组在西北工业大学召开了研讨会，会议由周兴社教授召集，马殿富教授起草了数学类课程的总体方案，具体包括4部分内容： 数学分析及高等数学、线性代数、概率论与数理统计、离散数学。鉴于此，本次修订删除了原第5章中的离散概率内容。
与本教材配套的教学辅导用书《离散数学解题指导》（第2版）于2016年出版，新增了应用案例。本次教材的修订也增加了相应的案例题目，采用二维码扫描方式给出每章一个案例的答案。新增应用案例24个： 命题逻辑一章中的应用案例包括： 克雷格探长案卷录，忘却林中的艾丽丝（狮子与独角兽）；谓词逻辑一章中的应用案例包括： 电路领域的知识工程，基于逻辑的财务顾问；集合与关系一章中的应用案例包括： 同余关系在出版业中的应用，拓扑排序在建筑工序中的应用，等价关系在软件测试等价类划分中的应用；函数一章中的应用案例包括： 逢黑必反魔术，生成函数在解决汉诺塔问题中的应用；组合计数一章中的应用案例包括： 大使馆通信的码字数，条条道路通罗马；图论一章中的应用案例包括： 网络爬虫，读心术魔术，高度互联世界的行为原理；树及其应用一章中的应用案例包括： 哈夫曼压缩算法的基本原理，决策树在风险决策中的应用，一字棋博弈的极大极小过程；代数系统一章中的应用案例包括： 组合电路物理世界中群的应用，群码及纠错能力；自动机、文法和语言 一章中的应用案例包括： 奇偶校验机、识别地址的有限状态机、语音识别；数论与密码学一章中的应用案例包括： 密码系统与公开密钥，单向陷门函数在公开密钥密码系统中的应用。
在这次修订工作中认真地审阅了原书，对其中的部分内容做了调整，更正了某些错误和疏漏之处。为控制篇幅，将可以作为课外读物的部分内容，如第2版的历史注记，一些定理证明，采用二维码扫描方式给出。
参考国防科技大学毛晓光教授、北京航空航天大学马殿富教授在离散数学实践教学中积累的经验，结合我们自身的做法，每章增加了约5道计算机编程题，并采用二维码扫描方式给出其中一道题的程序。
本书第5、7、10章由袁景凌编写，其余章节由贲可荣负责编写，其中的计算机编程题及程序由谢茜编写。贲可荣组织了本书的编写并统稿。在撰写本书过程中，参考了许多资料，特别感谢参考文献中的相关作者。同时，也欢迎读者对本书提出修改建议。
贲可荣2020年10月
离散数学是计算机科学与技术专业的核心基础课，在计算机科学与技术专业课程体系中起到重要的基础理论支撑作用。学习离散数学不仅能够帮助学生更好地理解与掌握专业课程的教学内容，同时也为学生在将来的计算机科学与技术的研究和工程应用中打下坚实的理论基础。随着计算机科学与技术的日益成熟，越来越完善的分析技术被用于实践，为了更好地理解将来的计算机科学与技术，学生需要对离散结构有深入的理解。
离散数学用数学语言描述离散系统的状态、关系和变化过程，是计算机科学与技术专业的形式化描述语言，也是进行数量分析和逻辑推理的工具。通过离散数学的学习，有利于培养学生的学科素质，进一步强化对计算机科学与技术学科方法的训练。通过离散数学的教学，对培养学生获取知识、应用知识的能力，对创新思维的培养有重要的作用。
依据《高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案》，离散数学的教学实施方案按照3种类型设计，即科学型（计算机科学专业方向）、工程型（计算机工程与软件工程专业方向）、应用型（信息技术专业方向）。
根据科学型、工程型和应用型3种不同类型人才的专业素养与能力要求，以及其他相关专业课程的教学需要，离散数学课程的教学内容和教学要求也具有不同的定位，参见表1。科学型人才的培养目标要求学生具有坚实的数学基础，较强的抽象思维、形式化描述、推理和分析能力；工程型人才培养目标要求学生具有坚实的数学基础，能够综合应用相关的理论分析和解决实际问题；应用型人才培养目标要求学生能够熟练运用典型的离散模型进行系统的建模和集成。基于不同的教学内容和教学要求，完成教学计划的学时也不一样。表1列出的学时均指课上教学时间，其中最低学时是指完成本课程核心教学内容所需要的最少学时，建议学时是完成本课程中等教学要求所需要的学时，包含部分推荐知识单元和可选知识单元的教学。表1面向不同培养目标的离散数学定位培养类型科学型工程型应用型培养要求基础理论和核心技术研究
原始创新基本理论与原理的综合应用（创新性应用）计算机应用人才人才定位学术研究IT企事业应用领域信息化人才培养人数少较多多离散数学的基础熟练掌握形式描述、变换、推理和证明方法；熟练掌握离散系统的描述与分析方法；了解实际离散系统的建模熟悉形式描述、变换、推理和证明方法；熟练掌握离散系统的描述与分析方法；了解实际离散系统的建模简要了解形式描述、变换、推理和证明方法；掌握离散系统描述与分析方法；熟悉常用的实际离散系统模型涉及其他专业课算法与数据结构、数据库系统原理、操作系统、编译原理、软件工程、人工智能、数字逻辑、计算机网络算法与数据结构、数据库系统原理、操作系统、编译原理、软件工程、数字逻辑、计算机网络数据结构与算法、数据库与信息管理技术、计算机网络与互联网学时安排建议学时： 72～108建议学时： 72～90建议学时： 51～72离散数学（第3版）第2版序除培养目标外，实施方案还须考虑不同学校计算机专业的整体课程体系设计及离散数学在其中的作用，因为各学校重点建设的专业方向或研究方向是不一样的。例如，信息安全需要较多的数理逻辑和代数知识；网络需要较多的图论和组合数学知识；算法设计与分析需要较多的图论和组合数学知识；数据库和数据挖掘需要较多的集合论、数理逻辑的知识；软件工程与可信计算需要较多的集合论、逻辑知识等。因此，在确定教学内容和最低学时时，需要有一定的灵活性，以便适应大多数学校的基本教学要求，鼓励各学校创建自己的专业特色和优势发展方向。
本书涵盖集合论、数理逻辑、组合论、图论、抽象代数的基础知识，可满足计算机科学技术工程领域（工程型）高层次人才用离散结构的理论和方法对实际系统进行描述、分析的基本数学需求。
在这个知识框架中，离散数学课程划分为10个知识单元，分成3个层次： 第1层的4个核心知识单元与科学型一样，即集合关系与函数、基本逻辑、图与树、基本计数，分别包含通常离散数学中的集合论、数理逻辑、图论、组合数学的基础部分；第2层的2个推荐知识单元是特殊的图、代数结构，分别包含图论、代数结构中的重要内容，这些知识单元之间相互比较独立；第3层的3个可选知识单元是形式系统、高级计数、初等数论，包含了数理逻辑、组合学和初等数论中的部分内容，这些知识单元之间也是比较独立的。从知识结构上，还需要1个关于证明技术的单元，包含离散数学中经常使用的证明方法，如数学归纳法、逻辑演算、构造性证明、反证法、归约证明等。但在教学安排上，可以将证明技术分散到有关的知识单元中讲授。
按科学型人才培养目标，本书包括了集合基数，但缺少一阶逻辑形式系统的一致性、合理性、完备性证明，计算理论（递归函数、原始递归函数、图灵机、图灵可计算函数）等内容。本书涵盖应用型人才培养目标的全部内容： 集合、关系与函数，基本逻辑，图与树，特殊的图，证明技术，基本计数，代数系统简介，初等数论。
与第1版相比，本书减少了博弈树的部分内容，增加了命题逻辑和谓词逻辑的归结原理（消解原理），命题逻辑形式系统的一致性、合理性、完备性定理及证明，在初等数论中增加了欧拉定理与费马小定理，在递推关系中增加了生成函数等。
本书第1～4、6、8、9章及附录由贲可荣、高志华撰写，第5、7、10章由袁景凌撰写，贲可荣对全书进行了统一修订。高志华、袁景凌给出本书奇数题的答案。
贲可荣2007年1月
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