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本书以概要形式讲述超小波分析的基本理论，并紧密结合实践应用研究。 第 1 章介绍超小波分析的学习方法，介绍如何开展课程学习方法、新技术学习对策和工程训练推荐方式。第 2 章概要介绍应用小波分析和应用时必须掌握的小波分析内容，即多尺度分析和 Mallat 算法。超小波是基于小波分析基础之上新的多尺度分析，不了解小波分析直接去学习，显然不合适。本章主要向读者介绍必须掌握的信号分析内容。第 3 章由小波变换引出脊波和曲波分析，介绍其方向性的优点，并结合其特点，进行初步的应用研究。第 4 章介绍 3D-DFB 和 Surfacelet 变换。第 5 章介绍方向波与楔波变换。第 6 章介绍高光谱压缩。第 7 章介绍 Bandelet 变换和应用。第 8 章介绍小线变换。第 9 章介绍 Contourlet 变换及其应用。第 10 章介绍脉冲耦合神经网络（PCNN）与小波变换。 本书将精缩的理论知识、实践教学和工程训练相结合，可以作为计算机应用、通信工程和电子工程专业硕士和博士研究生、工程硕士、教师及工程技术人员学习数字图像处理、图像分析和基本图形学技术研究型教材、参考书和实验教学指导书。具有较强计算机编程能力和扎实理论的高年级本科生，可以选取其中适合部分内容作为工程训练的基本教材。
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目录
第 1 章 超小波分析的学习方法
1.1 超小波分析学习的对策
1.2 新知识和新技术进展学习攻守策略
1.3 工程训练或研究课题推荐学习方式
第 2 章 多分辨分析和塔式算法
2.1 多分辨分析
2.2 Mallat 算法
2.3 小波包变换的 Mallat 算法
2.3.1 小波包分解的 Mallat 算法
2.3.2 小波包合成的 Mallat 算法
2.4 金字塔算法
2.4.1 信号的分解过程
2.4.2 空间的分解过程
2.4.3 系数的分解过程
2.4.4 信号的重建过程
2.4.5 空间的重建过程
2.4.6 系数的重建过程
2.5 小波包完全分解的空间塔式结构
2.6 二维小波变换的 Mallat 算法
2.6.1 二维多分辨分析
2.6.2 二维小波变换及小波包变换的 Mallat 算法
第 3 章 脊波和曲波变换
3.1 Ridgelet 变换的定义
3.1.1 一维 Ridgelet 变换
3.1.2 二维 Ridgelet 变换
3.2 正交 Ridgelet 变换
3.3 单尺度和多尺度 Ridgelet 变换
3.3.1 单尺度 Ridgelet 变换
3.3.2 多尺度 Ridgelet 变换
3.4 Ridgelet 变换的应用
3.4.1 基于 Ridgelet 变换的图像去噪
3.4.2 基于 Ridgelet 变换的图像压缩
3.4.3 Ridgelet 变换的其他应用
3.5 Curvelet 变换
3.5.1 Curvelet 变换的提出
3.5.2 Curvelet 变换的研究进展及现状
3.5.3 第一代 Curvelet 变换
3.5.4 实现过程
3.6 第二代 Curvelet 变换
3.6.1 连续 Curvelet 变换
3.6.2 离散 Curvelet 变换
3.6.3 实现方法
3.7 Curvelet 系数分析
3.7.1 结构分析
3.7.2 统计分析
3.7.3 特征分析
3.8 Curvelet 变换的应用
3.8.1 基于 Curvelet 变换的图像去噪
3.8.2 基于 Curvelet 变换的图像增强
参考文献
第 4 章 3D-DFB 和 Surfacelet 变换
4.1 DFB 的起源
4.2 预备知识
4.3 3D-DFB
4.3.1 核心思想
4.3.2 第一层沙漏滤波器组
4.3.3 其他层的分解
4.4 Surfacelet 变换
4.4.1 Surfacelet 变换的结构
4.4.2 Surfacelet 变换的性质
4.4.3 Surfacelet 变换系数分析
4.5 程序测试结果
4.5.1 三维图形分解
4.5.2 视频处理
4.5.3 系数矩阵分析
参考文献
第 5 章 方向波与楔波变换
5.1 方向波
5.2 各向异性二维小波分解
5.3 基于格子的歪斜小波变换
5.4 非线性逼近和压缩
5.5 Wedgelet 变换
5.6 多分辨率 Wedgelet 变换
5.7 Wedgelet 变换应用
5.7.1 Wedgelet 非线性逼近
5.7.2 去噪
附录 5.1 原始和变换域里的 MSE 的关系
附录 5.2 定理 5.1 的证明
参考文献
第 6 章 基于小波变换的高光谱图像压缩新方法
6.1 三维光谱压缩的必要性
6.2 KLT 基本理论
6.2.1 KLT 的统计特征分析
6.2.2 高光谱图像的谱特性分析
6.2.3 KLT 方法在消除谱相关性方面的应用
6.2.4 实验结果和讨论
6.3 对块零树编码压缩方法对超光谱数据压缩
6.4 基于 KLT/WT 和谐特征向量量化三维谱像数据压缩
6.4.1 特征分类向量量化（SFCVQ）压缩编码
6.4.2 SFCVQ 压缩编码的实验结果与讨论
6.4.3 基于 PKLT 和 IWT 的多光谱图像压缩系统
6.4.4 自适应分谱段的改进式 KL 变换 / 整数小波变换 / SPIHT 压缩
6.4.5 三维整数小波变换 / 三维 SPIHT 压缩
6.5 实验结果和结论
参考文献
第 7 章 Bandelet 变换及其应用
7.1 Bandelet 变换的基本概念和算法
7.2 几何正则图像和几何流
7.3 在特定区域内选择最佳几何流
7.4 图像的四叉树分割
7.5 Bandelet 变换算法流程
7.6 快速离散 Bandelet 变换
7.6.1 沿着几何流的重采样
7.6.2 离散弯曲小波和小波包变换
7.6.3 Bandelet 化
7.7 图像的稀疏表示
7.7.1 非线性图像小波逼近
7.7.2 几何图像表示
7.8 沿几何流的 Bandelet
7.8.1 Bandelet 块函数
7.8.2 最优化几何逼近
7.9 快速几何最优化
7.9.1 图像压缩
7.9.2 噪声消除
7.9.3 一种基于 Bandelet 变换的图像编码方法
7.10 基于 Bandelet 变换的图像融合
参考文献
第 8 章 小线变换及其应用
8.1 基本理论
8.1.1 建立小线库目标数据库
8.1.2 小线变换
8.1.3 建立小线金字塔
8.1.4 建立小线图
8.1.5 小线算法
8.2 小线变换的应用
8.2.1 小线检测
8.2.2 基于小线变换的多尺度曲线编码
参考文献
第 9 章 Contourlet 变换及其应用
9.1 Contourlet 的原理
9.1.1 拉普拉斯金字塔
9.1.2 方向滤波器组
9.1.3 多尺度、多方向分解：金字塔方向滤波器组
9.2 Contourlet 的应用
9.2.1 基于 Contourlet 变换的图像去噪
9.2.2 基于 Contourlet 变换的图像融合
9.3 基于 Contourlet 变换的图像增强
9.3.1 构建 NSCT
9.3.2 NSCT 图形增强算法
9.3.3 实验结果
参考文献
第 10 章 脉冲耦合神经网络与小波变换
10.1 脉冲耦合神经网络的基本原理
10.2 脉冲耦合神经网络的特点
10.3 脉冲耦合神经网络的应用及其分类
10.3.1 图像中的脉冲耦合神经网络设计
10.3.2 基于脉冲耦合神经网络的图像分割
10.4 脉冲耦合神经网络与小波变换
10.5 脉冲耦合神经网络 PCNN 与小波变换应用
10.5.1 小波多尺度脉冲耦合神经网络的基本原理
10.5.2 基于脉冲耦合神经网络的高频融合算法实现
10.5.3 改进的脉冲耦合神经网络高频图像融合方法
10.5.4 基于脉冲耦合神经网络低频图像融合方法
10.5.5 综合高频改进 PCNN 与低频 PCNN 的融合方法
10.5.6 基于区域点火特性的多聚焦图像融合
10.5.7 基于方向性信息激发的脉冲耦合神经网络融合方法
参考文献
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前言 20 世纪 80 年代以来，小波变换得到了广泛的应用。在信号与信息处理领域，小波变换已经成为像傅里叶变换一样必须掌握的数学工具之一，但系统地掌握小波变换理论不是一件容易的事。小波变换涉及数学中的泛函分析、时频分析、空间分辨和多尺度等数学知识，对于任何一个初学者来说，在没有系统掌握基础知识之前，学习小波变换都十分困难。 对于应用小波分析的学者来说，了解这些数学知识概念很有必要。但在不了解这些数学知识的情况下能不能学习和应用小波分析技术呢？回答当然是肯定的，可以应用小波分析技术进行信息处理方面的研究和技术开发。例如大家可以找到很多篇不同领域应用小波分析的论文，很多作者不懂或没有系统地研究过小波分析理论，但实际应用研究的效果却很好。 学习理论的目的是学以致用，特别对工科和其他学科的应用研究来说，应用远比理论学习更重要。究竟掌握多少理论才可以应用呢？这个问题在不同领域的要求不一样，也与学者的理论基础和追求学术境界有关。我认为至少应该了解这些理论的起源，以及自己所用小波基的特性应用在哪些领域效果更好。 多数小波分析的应用学者在学习的初期经常犯相似的错误，总想能够系统地掌握小波分析理论。他们花了大量的时间去研究和学习，结果还是似懂非懂，直到应用时才发现，使用 MATLAB 工具箱中的一个命令即可实现小波变换。这是一个很典型的 “实践论” 中的问题，即先从理论到实践，再从实践到理论，不断认识世界。学习小波分析也是先从理论到实践，实践收到良好效果时再去与理论联系，只有通过这样的反复过程才能掌握小波变换，并将其灵活应用到实际研究工作中。 日月经天，万事物理皆如此。在不懂得理论或原理时，暂时回避它直接去应用。当研究到一定深度后再回来学习理论，可能会学习得更快，理解得更深入。 尽管小波变换在数据压缩和去噪等领域取得了良好的效果，可分离的二维小波变换（非直接构造）通过对行和列分别进行一维变换扩展而来，或者直接用两个可分离的一维函数基直接构造二维变换，但从数学角度看，这些都不是真正的二维函数。基函数的支撑区域由区间扩展为正方形，基函数形状的方向性较差，该问题制约着小波变换的进一步应用。同时，由于采用降采样技术，在目标提取时会造成信息模糊，对信息利用产生较大的影响。众所周知，如果某个基函数能与被逼近的函数较好地匹配，则其相应的投影系数较大，变换的能量集中度较高。可见对于平滑区域，小波变换的表示效率较高，而对于图像中方向性较强的边缘以及纹理，由于两者匹配较差，导致其表示效率欠佳。在高维情况下，小波分析并不能充分利用数据本身特有的几何特征，并不是最优的或 “最稀疏” 的函数表示。多尺度几何发展的目的和动力正是致力于发展一种新的高维 函数的最优表示。 为克服小波分析的缺点，人们一直找寻改进的方法。我们将这些方法统称为超小波（Beyond Wavelet）分析方法。超小波分析就是人们为改变小波分析的不足提出的常用基于小波变换技术基础的系列变换，即 Curvelet、Ridgelet、Contourlet、Bandelet、Beamlet、Directionlet、Wedgelet 和 Surfacelet 变换的统称，也称其为 X-let（包括 Wavelet）。当然，超小波并不是在所有应用方面都能超越小波变换。特别地，本书中的超小波主要是为克服传统二维小波变换在方向性、稀疏性等方面的不足所进行的改进。 本课程是研究型课程，将以高密度压缩式教学方式进行，浓缩大量的理论和实践教学内容，可配合《数字图像处理》（Castleman）和《数字图像处理（MATLAB 版）》（国防工业出版社，2007 年 2 月）等理论和研究型教材使用。课程内容的安排设置参照作者在法国巴黎高等电信学校（巴黎高科）开展博士后研究期间借鉴的工程师教学和训练模式，并将其融入中国高等教育和研究生教育，更加适合中国的研究生和青年学者学习。在学习和训练过程中，力争最大限度使读者全面提高研究能力和创新能力。 本书以概要形式讲述基本理论，并紧密结合实践应用研究。具体内容如下： 第 1 章介绍超小波分析的学习方法，介绍如何开展课程学习方法、新技术学习对策和工程训练推荐方式。这属于方法论的范畴，告诉大家如何充分学习好本书。第 2 章概要介绍应用小波分析和应用时必须掌握的小波分析内容，即多分辨分析和 Mallat 算法，内容不多，不会占用太多的学习时间。超小波是小波分析基础之上的新的多尺度分析，不了解小波分析直接去学习，显然不合适。第 3 章由小波变换引入脊波和曲波变换，介绍其方向性的优点，并结合其特点，进行初步的应用研究。第 4 章在简要介绍数字滤波器组的基础上，重点分析了 Surfacelet 变换的特点、性质和应用。应用基于 3D 纹理模型的滤波，根据 Surfacelet 变换的特点，将原来基于常用 2D 纹理的模型拓展到 3D，充分利用分解后数据的 3D 纹理信息，取得了良好的噪声抑制效果。第 5 章介绍方向波与楔波变换。这个变换保留了可分离滤波和二次采样，计算简单，以及由标准二维小波变换进行滤波器设计等特点，区别于其他的一些方向变换（如 Curvelet、Contourlet 或 Edgelet）。相应的各向异性基函数（directionlets）在任何两个有合理斜率的方向上都有方向消失矩（DVM）。第 6 章介绍 KL 变换、第二代小波变换和基于小波的编码方法，并提出改进式 KL 变换 / 整数小波变换 / SPIHT 压缩算法等多种先进的研究方法，是项目组的优势研究和重点应用领域，是全书的重点章，是近几年新技术之一。本章给出大量的研究和应用，给读者展示了学术新天地。虽然 Bandelet 变换的工具箱已经公布多年，但因其数学方法复杂，导致人们对此方法不十分了解，对工具箱函数中参数和变量的特性不完全了解，因此限制其应用。本章还将对 Bandelet 变换的系数特征进行分析，给出分布规律和特点，指出其合适的应用研究方向。第 8 章介绍小线变换（Beamlets Transform）及其应用。小线变换是斯坦福大学 David L. Donoho 教授于 1999 年首次提出的，已经得到了初步应用。由小线变换引入的小线分析（Beamlets Analysis）也是一种多尺度分析，但又不同于小波分析的多尺度概念，可以理解为小波分析多尺度概念的延伸，小线分析以各种方向、尺度和位置的小线段为基本单元来建立小线库，图像与库中的小线段积分产生小线变换系数，以小线金字塔方式组织变换系数，再通过图的形式从金字塔中提取小线变换系数，从而实现多尺度分析。由于 Beamlet 软件工具包还没有开放，应用实现比较难，因此本章只给出原理和基本研究应用。第 9 章介绍 Contourlet 变换及其应用。Contourlet 变换用类似于轮廓段（Contour segment）的基结构来逼近图像。基的支撑区间是具有随尺度变化长宽比的 “长条形” 结构，具有方向性和各向异性。Contourlet 系数中，表示图像边缘的系数能量更加集中，即 Contourlet 变换对于曲线有更 “稀疏” 的表达。而二维小波是由一维小波张量积构建得到的，其基函数缺乏方向性，不具有各向异性。只能限于用正方形支撑区间描述轮廓，不同大小的正方形对应小波的多分辨率结构。第 10 章介绍脉冲耦合神经网络的基本原理的基础上，分析 PCNN 的特点、应用、分类等，并将其与小波变换比较，最后给出 PCNN 与小波变换的应用。项目组在这一领域研究的图像融合技术取得了突破进展，研究成果发表于 2008 年《自动化学报》英文版，谷歌学术引用 500 多次。 全书的内容学习和理解实验，可做成一个软件包，在进一步学习和研究时应用，具有较强的系统性。书中所涉及的内容包括现代数字图像处理中压缩编码、图像增强和图像融合等技术中的重要研究内容，并紧密结合应用研究展开。虽然基础知识不是很全面和系统，但力求以点代面，为读者学习和研究小波变换开拓新方法和新思路。兵法云：“伤其十指，不如断其一指。” 本书以工程训练为背景，以 “断其一指” 为宗旨，以创新能力培养为目标，具有较强的科学性。正所谓 “百闻不如一见，百见不如一练，百练不如一专。” 看知识多了就需要练习，练习多了不如做成一个完整项目，能力从实践训练中来。本书多数内容都是多年教学和科研中实践经验的积累，希望让更多的读者受益。 本书将精缩的理论知识、实践教学和工程训练相结合，可以作为计算机应用、通信工程和电子工程专业的硕士和博士研究生、教师及工程技术人员学习数字图像处理、图像分析和基本图形学技术的研究型教材、参考书和实验教学指导书。具有较强计算机编程能力和扎实理论的高年级本科生，可以选取其中适合部分内容进行工程训练。书中包含内容很多，不同学校、不同专业可以根据自己的侧重点适当取舍。全部内容可以分为 60 学时讲授，配套 PPT 联系作者获取。其中很多内容可以作为实验教学内容，不用再辅以实验指导书。书中附有大量的研究实例，全部采用 MATLAB 和 VC++ 编程，代码均已调试通过。因篇幅有限，需要源程序代码的读者可邮件联系（xdyjwen@126.com，jwyan@stu.edu.cn）。 特别感谢电子科技大学尧德中教授和西南交通大学张家树教授对本书提出宝贵建议！感谢谢国富、余见、陈嘉臻、李绿森、肖弘智等对书中的部分程序仿真和部分内容进行整理。本书共计约 40 万字，其中屈小波负责编写 20 万字左右，黄坚负责编写 20 万字左右。本人负责全书的审阅、内容安排、出版联系和其他编写工作等。 本著作获得 2025 年广东省重点建设学科科研能力提升项目（2025ZDJS089）资助，特此鸣谢！ 闫敬文 2025 年 10 月于广州理工学院
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