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| 內容簡介： |
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《随机微分方程导论》是一本介绍随机微分方程的基本思想与方法的简明型教材，先在绪论部分引入随机微分方程的基本概念和背景知识，随后在第2章介绍概率论的基本理论。第3章和第4章深入探讨了布朗运动、白噪声、随机积分的预备知识、It？积分的核心内容（包括It？公式和乘积公式）。第5章系统地阐述了随机微分方程的定义、解的存在唯一性以及解的性质，特别关注了线性随机微分方程的解法。第6章则将理论与实际应用相结合，展示了随机微分方程在金融、物理等多个领域的广泛应用，如期权定价和*优停时问题。
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| 目錄：
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目录前言第1章 绪论 11.1 动机 11.2 确定和随机微分方程 21.3 随机微分 31.4 Ito链式法则 4第1章 练习 6第2章 概率论中的基本理论 82.1 基本定义 82.1.1 Bertrand悖论.82.1.2 概率空间 102.1.3 随机变量 122.1.4 随机过程 142.2 数学期望、方差 152.3 分布函数 172.4 *立性 202.4.1 条件概率 202.4.2 *立事件 212.4.3 *立随机变量 232.5 Borel-Cantelli引理 262.6 特征函数 272.7 强大数定律、中心极限定理 292.7.1 强大数定律 292.7.2 Laplace-De Moivre定理 322.7.3 中心极限定理 342.8 条件期望 362.8.1 动机 362.8.2 条件期望的定义方法1 .362.8.3 条件期望的定义方法2 .382.8.4 性质 402.9 鞅 422.9.1 定义 422.9.2 鞅不等式 44第2章 练习 45第3章 布朗运动和白噪声 503.1 动机 503.1.1 溯源 503.1.2 随机游走 513.1.3 数学验证 523.2 布朗运动的定义、基本性质 543.2.1 布朗运动的定义 543.2.2 联合概率的计算 543.2.3 白噪声 563.3 构造布朗运动.593.3.1 正交基展开 593.3.2 布朗运动的构造 603.3.3 Rn上的布朗运动 663.4 样本路径 683.4.1 样本路径的连续性 683.4.2 处处不可微性 713.5 Markov性 74第3章 练习 76第4章 随机积分 784.1 预备知识 784.1.1 Paley-Wiener-Zygmund随机积分 784.1.2 黎曼和 804.2 Ito积分 854.2.1 非可料过程 854.2.2 阶梯过程 864.2.3 Ito积分的定义和性质 894.2.4 定义扩展 904.2.5 Ito不定积分 914.3 Ito公式和乘积公式 924.3.1 Ito公式 924.3.2 Ito公式的应用 934.3.3 Ito乘积公式 954.3.4 Ito公式的证明 984.3.5 更一般的Ito公式 984.4 高维中的Ito积分 994.4.1 符号和定义 994.4.2 Ito公式和乘积公式 100第4章 练习 103第5章 随机微分方程 1055.1 定义和例子 1055.1.1 预备工作 1055.1.2 线性随机微分方程的例子 1065.2 解的存在唯一性 1125.2.1 一维情形 1125.2.2 通过变量代换解随机微分方程 1145.2.3 一般的存在唯一性定理 1165.3 解的性质 1215.4 线性随机微分方程 1235.4.1 解的形式:狭义线性随机微分方程 1245.4.2 解的形式:一般标量线性方程 1255.4.3 线性随机微分方程的一些解法 125第5章 练习 128第6章 应用与拓展.1316.1 停时 1316.1.1 定义、基本性质 1316.1.2 随机积分和停时 1336.1.3 带停时的Ito公式 1346.1.4 布朗运动和Laplace算子 1356.2 在偏微分方程中的应用、Feynman-Kac公式 1356.2.1 偏微分方程解的概率表示公式 1356.2.2 Feynman-Kac公式 1386.3 *优停时 1406.3.1 随机微分方程的停时 1406.3.2 *优停时 1416.3.3 解值函数问题 1436.3.4 设计*优停时 1436.4 期权定价 1446.4.1 基本问题 1456.4.2 套利和对冲 1456.4.3 数学模型 1466.4.4 总结 1486.5 Stratonovich积分 1486.5.1 动机 1486.5.2 近似白噪声 1496.5.3 近似解 1496.5.4 Stratonovich积分的定义 1506.5.5 Stratonovich链式法则 1526.5.6 SDE的转换公式 1536.5.7 总结 154第6章 练习 154附录156附录A Laplace-De Moivre定理的证明 156附录B 离散鞅不等式的证明158附录C 不定 Ito积分连续性的证明 159参考文献 161
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