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| 內容簡介： |
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《数学分析（上、下册）》是在作者多年讲授数学分析课程讲义的基础上编写而成的，是作者多年授课经验与教学心得的总结。《数学分析（上、下册）》分上、下两册。 上册分三部分。先感性认识与论述初等一元微积分:函数、极限与连续性、定积分、导数，微积分学基本定理，简单常微分方程及一些**应用。接着是微积分学严格化:实数的公理化定义和极限理论，据此论证一元函数的极限、连续性和Riemann积分的理论。然后叙述级数理论、多元函数的极限与连续性、空间定向、空间解析几何简介。 下册分三部分。先讲述多元函数的微分学与积分学及场论初步。然后论述微分流形上的微积分，包括欧氏空间中的微分形式和积分公式、积分的连续性、广义重积分、微分流形、流形上的微积分等。附录介绍微积分学中若干基本问题的延伸与发展。 《数学分析（上、下册）》的内容安排力图符合微积分体系的认识论规律、贴近微积分学发展脉络，力求在逻辑上清楚，作者会不时将个人的一些看法采用评注或评议写出，便于读者理解。 《数学分析（上、下册）》*后五讲比较难，属于现代化的分析学，希冀对有兴趣的读者有些帮助。
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| 目錄：
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目录前言 第1讲 函数的极限和连续性 1 1.1 集合 1 1.2 实数 2 1.3 函数 3 1.4 极限 4 1.5 函数的连续性 8 1.6 关于函数记号的评议 9 第2讲 定积分 11 2.1 求积类典型例子 11 2.2 定积分概念 13 2.3 定积分的基本性质 15 第3讲 定积分应用与计算初步 18 3.1 定积分概念应用举例 18 3.2 定积分概念应用的一般程式 19 3.3 定积分计算举例 20 3.4 对数函数ln x 23 第4讲 导数.27 4.1 求导类典型问题 27 4.2 导数概念 29 4.3 导数的运算法则 31 4.4 导数概念举例 32 第5讲 求导法则和基本公式34 5.1 两个重要求导法则 34 5.2 基本初等函数求导公式之推导 38 5.3 基本初等函数求导公式 42 5.4 高阶导数 43第6讲 略论导数与定积分之关系 （微积分学基本定理） 45 6.1 微积分学基本定理 45 6.2 原函数和不定积分 47 6.3 变上限的定积分与原函数的存在性 49 第7讲 微分中值定理与Taylor公式 51 7.1 Lagrange中值定理 51 7.2 Cauchy中值定理 54 7.3 Taylor公式.55 第8讲 微分与无穷小 58 8.1 微分概念 58 8.2 微分的运算法则和计算公式 59 8.3 高阶微分 60 8.4 微分应用于近似方法 61 8.5 无穷小与无穷大概念 63 8.6 阶的比较 64 8.7 待定式和 L’Hospital法则 67 第9讲 积分法初步 69 9.1 求积运算法则和求积基本公式 69 9.2 积分的变量替换 71 9.3 分部积分法 78 9.4 有理函数的积分 83 第10讲 一阶常微分方程 87 10.1 一般概念 87 10.2 一阶可分离变量的方程 89 10.3 可化为变量分离的某些一阶方程 91 10.4 一阶线性方程 93 第11讲 二阶常微分方程 99 11.1 可降阶的二阶常微分方程 99 11.2 二阶线性常微分方程简论 102 11.3 常系数二阶线性方程 106 11.4 一些**微分方程模型及其应用 111 第12讲 实数 119 12.1 数的简史 119 12.2 自然数的Peano公理系统 120 12.3 实数的公理化定义 12112.4 数轴 123 12.5 实数的拓扑 124 12.6 演绎推理模式简述 127 第13讲 实数序列的极限 129 13.1 序列的极限概念 129 13.2 序列极限的重要性质 132 13.3 区间套原理与聚点原理 136 13.4 单调序列 139 13.5 Cauchy原理 140 13.6 确界原理 142 第14讲 一元函数的极限和连续性再论 143 14.1 函数的极限概念 143 14.2 单侧过程和无穷过程之极限概念 146 14.3 函数的连续性概念 147 14.4 闭区间上连续函数的性质 148 14.5 一致连续性 151 14.6 有限覆盖定理 154 第15讲 Riemann积分的理论 156 15.1 定积分概念 156 15.2 可积的一个必要条件.157 15.3 Darboux和 158 15.4 可积的充要条件 161 15.5 常见的可积函数类 164 15.6 定积分的基本性质 167 15.7 再论导数与定积分之关系 171 第16讲 数项级数、广义积分和无穷乘积 175 16.1 级数定义 175 16.2 基本性质和重要例题.178 16.3 常用的正项级数收敛判别法 183 16.4 一般项级数 187 16.5 广义积分 190 16.6 无穷乘积 193 第17讲 函数级数 196 17.1 函数序列和函数级数的一致收敛性 196 17.2 一致收敛的判别法 19917.3 一致收敛的函数序列与函数级数的性质 200 17.4 幂级数 204 17.5 Taylor级数 209 17.6 连续函数的多项式逼近 215 第18讲 Fourier级数 219 18.1 三角级数 219 18.2 Fourier级数定义 220 18.3 Fourier级数的敛散性 222 18.4 收敛定理的证明 225 18.5 例题 228 18.6 物理解释 232 18.7 Gibbs现象 233 18.8 推广 234 第19讲 多元函数的极限和连续性 237 19.1 空间Rn的拓扑 237 19.2 Rn中的序列极限 240 19.3 多元函数的极限 242 19.4 多元函数的连续性 245 19.5 线性映射空间 246 第20讲 平面和空间的定向及由向量所张的面积和体积 253 20.1 R2中两个向量所张的面积 253 20.2 R3中的向量积 254 20.3 R2和R3中的定向 255 20.4 R3中的混合积和三个向量所张的体积 257 第21讲 空间解析几何简介 259 21.1 平面方程 259 21.2 直线方程 261 21.3 R2中的二次*线 263 21.4 二次*面 267第22讲 多元微分学的基本概念 1 22.1 偏导数和方向导数 1 22.2 全导数和梯度 2 22.3 复合求导和逆映射求导 8 22.4 高阶导数 11第23讲 多元微分学的基本定理 16 23.1 中值定理 16 23.2 Taylor公式 17 23.3 隐函数定理 20 23.4 反函数定理 24第24讲 多元微分学的应用 26 24.1 *线的切线和法线或法平面 26 24.2 梯度与*面的切面和法线 29 24.3 极值 29 24.4 条件极值的Lagrange乘子法 32 24.5 函数相关 35 24.6 齐次函数的Euler公式 36第25讲 *线积分 39 25.1 *线的弧长 39 25.2 *线积分概念和典型实例 44 25.3 *线积分的实例 46 25.4 *线积分的计算 49 25.5 Rn中的*线积分 50第26讲 重积分 52 26.1 平面集合的面积概念 52 26.2 二重积分概念 62 26.3 二重积分的可积性 65 26.4 二重积分化为累次积分 69 26.5 二重积分化为累次积分（续） 72 26.6 变量替换的应用 75 26.7 Jacobi行列式的几何意义 78 26.8 二重积分应用举例 80 26.9 三重及更高重积分 81 26.10 关于二重积分的评议 81第27讲 *面积分 83 27.1 *面概念 83 27.2 *面的定向 85 27.3 *面的面积 87 27.4 *面积分概念 90第28讲 多元积分公式 95 28.1 Green公式 95 28.2 Gauss公式 100 28.3 Stokes公式 101 28.4 重积分变量替换公式的证明 （C2条件下） 103第29讲 场论初步 112 29.1 数量场的梯度 112 29.2 通量与散度 112 29.3 环量与旋度 114第30讲 欧氏空间中的微分形式和积分公式 117 30.1 *中微分形式的引入 117 30.2 对偶空间 120 30.3 反变的和共变的 122 30.4 *是反变的，*是共变的 125 30.5 应用于积分概念 129 30.6 积分基本公式 130第31讲 积分的连续性 133 31.1 定积分的连续性 133 31.2 线积分的连续性 134 31.3 重积分的连续性 137 31.4 *面积分的连续性 138 31.5 积分号下取极限 141 31.6 磨光法的应用 147 31.7 重积分变量替换公式证明完成（C1条件下） 151第32讲 广义重积分 160 32.1 广义二重积分概念 160 32.2 收敛性蕴涵绝对收敛性 161 32.3 典型例子与收敛定理 164 32.4 化为累次积分 166第33讲 微分流形 174 33.1 拓扑空间 174 33.2 连通性、紧性、分离性和可分性 177 33.3 微分流形 180 33.4 单位分解 184第34讲 流形上的微积分 185 34.1 回顾欧氏空间中重积分变量替换公式 185 34.2 Rn中在给定点处的 （切）向量 186 34.3 微分流形的切向量和余切向量 188 34.4 可微映射的导射 189 34.5 外代数 194 34.6 切丛的微分结构 196 34.7 流形上的微分形式 198 34.8 单形和链 202 34.9 流形上的积分 207 34.10 流形上的 Stokes定理 208附录 212
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