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| 編輯推薦： |
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本书遵循教指委相关指导文件和高等院校学生学习规律编写而成。践行四新理念，融入思政元素，注重理论与实践相结合。
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| 內容簡介： |
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本书主要介绍偏微分方程中三类典型方程——波动方程、热传导方 程、位势方程的基本理论和基本方法，以及一阶偏微分方程的求解方法. 全书共 6 章，包括经典方程的导出与定解问题、二阶偏微分方程的分类 和简化、波动方程、热传导方程、位势方程、一阶偏微分方程. 本书采 用简洁、易于理解的叙述方式，每部分都配备一定的例题分析和丰富的 习题， 书末附有部分习题答案与提示. 本书可作为高等学校数学类专业本科生和研究生偏微分方程课程 的教材，也可作为非数学类理工科本科生和研究生数学物理方程课程的 教材或教学参考书.
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| 目錄：
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目录
前言
第 1 章 经典方程的导出与定解问题 1
1.1 基本概念 1
1.2 经典方程的导出 6
1.2.1 弦振动方程 6
1.2.2 热传导方程 10
1.2.3 位势方程 12
1.3 定解问题 12
1.3.1 定解问题和定解条件 12
1.3.2 定解问题的适定性 15
1.4 叠加原理 16
习题一 19
第 2 章 二阶偏微分方程的分类和简化 21
2.1 二阶方程的特征 21
2.2 二阶方程的分类与化简 24
2.2.1 两个自变量的情形 24
2.2.2 多个自变量的情形 32
习题二 35
第 3 章 波动方程 36
3.1 问题的简化 36
3.1.1 初值问题的简化 36
3.1.2 混合问题的简化 39
3.2 一维波动方程的初值问题 42
3.2.1 达朗贝尔公式 42
3.2.2 达朗贝尔公式的物理意义 46
3.2.3 依赖区间、决定区域和影响区域 47
3.2.4 一维半无界问题 49
3.3 高维波动方程的初值问题 52
3.3.1 三维波动方程的初值问题 52
3.3.2 二维波动方程的初值问题 60
3.3.3 特征锥 62
3.3.4 惠更斯原理、波的弥散 64
3.4 混合问题 (初边值问题) 66
3.4.1 齐次波动方程的混合问题 66
3.4.2 非齐次波动方程的混合问题 73
3.4.3 * 施图姆–刘维尔特征值问题 78
3.4.4 二维波动方程的混合问题 81
3.4.5 物理意义， 驻波法 83
3.5 能量法与波动方程解的适定性 85
3.5.1 能量等式 混合问题解的唯一性 86
3.5.2 能量不等式 混合问题解的稳定性 88
3.5.3 初值问题解的唯一性和稳定性 91
习题三 95
第 4 章 热传导方程 100
4.1 傅里叶变换及其基本性质 100
4.2 热传导方程的初值问题 110
4.2.1 初值问题与基本解 110
4.2.2 半无界问题 118
4.3 热传导方程的混合问题 121
4.4 极值原理与热传导方程的适定性 127
4.4.1 极值原理 127
4.4.2 第一边值问题解的适定性 129
4.4.3 第二、第三边值问题解的最大模估计 131
4.4.4 初值问题解的最大模估计 134
4.4.5 混合问题解的能量不等式 135
习题四 136
第 5 章 位势方程 140
5.1 调和函数 140
5.1.1 调和函数与基本解 140
5.1.2 格林公式 142
5.2 调和函数的基本积分公式及性质 142
5.2.1 调和函数的基本积分公式 142
5.2.2 调和函数的基本性质 144
5.3 格林函数 148
5.3.1 格林函数的导出 148
5.3.2 格林函数的性质 150
5.4 几种特殊区域上的格林函数和狄利克雷问题的解 153
5.4.1 上半空间的格林函数 153
5.4.2 球上的格林函数 155
5.4.3 圆域上的格林函数 159
5.5 调和函数的进一步性质 162
5.6 极值原理与位势方程解的适定性 165
5.6.1 极值原理 165
5.6.2 最大模估计 169
习题五 172
第 6 章 一阶偏微分方程 176
6.1 基本概念 176
6.2 线性齐次偏微分方程 177
6.2.1 通解 177
6.2.2 初值问题 182
6.3 拟线性偏微分方程 185
6.3.1 通解 185
6.3.2 初值问题 189
习题六 194
部分习题答案与提示 195
参考文献 214
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| 內容試閱：
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前言
偏微分方程源于物理学和几何学，又与很多数学分支 (如生物数学、金融数学、图像处 理等)、其他自然学科 (力学、化学等) 以及许多现实问题存在着联系. 偏微分方程是数学类专业本科生和研究生的必修课，也可以是理工科专业本科生和研 究生的选修课. 本书精选偏微分方程理论中最主要、最基本的内容，力求用尽可能简单的 方式阐述偏微分方程的基本理论和方法. 本书主要介绍偏微分方程中三类典型方程——波动方程、热传导方程、位势方程的适 定性，以及一阶偏微分方程的求解方法. 本书共分为六章. 第 1 章介绍偏微分方程的术语 和经典方程的推导，以及定解问题及其适定性. 第 2 章对二阶偏微分方程的特征进行讨论， 并根据特征对方程进行分类. 第 3 章介绍波动方程的基本理论，首先分别利用特征线法、 球面平均法和降维法求解一维、三维和二维波动方程初值问题解的表达式，然后利用分离 变量法求解出一维波动方程混合问题解的表达式，同时利用特征线 (锥) 推导波动方程的 能量不等式，进而讨论初值问题以及混合问题解的唯一性及稳定性. 第 4 章介绍热传导方 程的基本理论，首先介绍傅里叶变换及其基本性质，并利用傅里叶变换求解热传导方程初 值问题解的表达式，然后利用分离变量法解出热传导方程混合问题解的表达式，最后给出 热传导方程混合问题和初值问题的极值原理和最大模估计. 第 5 章介绍位势方程的基本理 论，首先介绍调和函数及其性质，并利用基本解构造位势方程边值问题格林函数，然后给 出几类特殊区域上的格林函数，进而得到位势方程边值问题解的表达式，最后给出位势方 程的极值原理和最大模估计. 第 6 章介绍一阶线性齐次偏微分方程的求解方法和一阶拟线 性偏微分方程的求解方法. 编者曾多次以本书内容作为讲义为本科生讲授偏微分方程课程. 在本书的编写过程中， 我们参阅了大量国内外同类教材，这些教材对本书的编写帮助很大，在此，我们谨向有关 作者表示诚挚的谢意. 同时，我们也得到了北京理工大学的葛渭高、中央民族大学的贺小 明、华北电力大学的张学梅等教授的鼎力帮助. 在本书的编写过程中，北京科技大学给予 了大力支持，在此向他们表示衷心的感谢. 由于编者的学识和教学经验有限，书中不妥甚至错误之处在所难免，恳请读者批评 指正. 编 者
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